基于学生思维培养的数学定理教学的调查与分析——以“圆周角定理”教学设计为例

伍春兰

（北京教育学院 数学系，北京 100120）

基于学生思维培养的数学定理教学的调查与分析
——以“圆周角定理”教学设计为例

伍春兰

（北京教育学院 数学系，北京 100120）

运用“PCK-方式”分析框架，通过对“圆周角定理”教学片段的评议和设计的对比分析与总结，反推教师培养学生思维能力的PCK差异，得到结论：数学教学中关注“过程”已成共识，但缺少思维价值的问题或操作充斥教学过程，而有些教师浑然不知．参训者浸润在真实的教学现场——常规课堂中，通过讲课或观课（平均每月两次的频率）前后的设计反思、小组合作的磨课互学、培训者与参训者的同课异构及专业引领的说课议课等主要形式，能影响教师的教育观念，进而改变教师的行为．

思维；圆周角定理；浸润式；PCK

1 问题提出

多年的教师培训及相关调研，发现不少数学教师虽然赞同“数学教育的基本目标之一就是提高学生的数学思维能力”[1]，也认识到“数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用”[2]．但对思维能力培养的认识上有偏差，因此在教学实践中很难将认同的理念自动地对其教学产生影响．

中学数学学习过程中概念的形成、结论的推导、方法的思考、问题的发现和提出、规律的揭示和证明、习题的解决等过程都是培养学生数学思维能力的极好机会，可是如何挖掘这些内容的思维因素，怎样培养学生的数学思维能力，学生数学思维水平应达到何种程度等，不少教师对此缺乏系统思考．“深度挖掘教材中各种数学概念、结论等背后的隐性知识，达到与隐性知识的深度对话，有助于提高数学课堂实效和学生的综合能力”[3]的高水平教师不多．一些农村地区的教师，经常以自己的学生水平差，家长不管不顾为由，在实际教学中代替学生思维，过多地包办代替．有些教师以极低思维含量的问题串提问学生，得到标准答案后就认为是培养了学生思维．有些内容本应该让学生独立思考，却被所谓的教师引导、自主学习、合作学习或动手操作淹没了．有些教师“过分重视逻辑思维训练、而忽略直觉思维培养的倾向，不仅使学生学得辛苦，降低了发现、探索、创造的欲望和意识，也使数学落下了呆板单调、枯燥乏味的‘坏名声’”[4]．“有相当数量的教师把应试做题作为学生的主要活动，而并没有把大部分时间用于学生的探究、试验、讨论、交流、归纳、猜想的真正意义的思维活动上”[5]．“一线教师在影响学生数学思维水平的因素方面有着较为清楚的认识，但是在改变这些因素的不利影响方面却由于现实的多方面问题而没有根本性的切实行动”[6]．

凡此种种，说明了“常规思维的改进，与专业（数学）思维的学习，从而逐步学会想得更深、更细、更合理、更有效”地促进学生思维发展的目标没有落实[7]．数学作为思维科学，在培养人的思维的深度、广度、系统性等方面优于其它学科或其它方式[8]并没有充分体现．

在中国知网（http://cnki.net）上截止到2016年11月，以“数学思维”为检索词，按“主题”搜索的成果有10万多，按“篇名”搜索的成果有2万多，按“关键词”搜索的成果有2千多．研究成果来自于高校学者、研究生、教研员，更多地来源于一线教师．这足以说明“数学思维”是数学教育的一个热点、重点问题，也是难点问题．但是众多研究成果，从教师培训的角度，特别是教师行为干预上的研究极少．

2016年初，研究者以北京市某区名师工作室为主体，辐射该区的9所中学的32位初中数学教师，开展了“基于学生数学思维能力培养的教学改进”的浸润式研修之旅．即参训者浸润在真实的教学现场——常规课堂中，通过讲课或观课（平均每月两次的频率）前后的设计反思、小组合作的磨课互学、培训者与参训者的同课异构及专业引领的说课议课等主要形式，以实现研修之目标．

2 调查设计

调研采用两组对比方式，组一是研修7个月后的32位初中数学教师，组二是未参加培训的北京市初中数学教师12名和某地赴京参加培训的84名初中数学教师．组二与组一教师（见表1）大部分的教龄在10年及以上，职称一级及以上，入职时学历大专或中师，学校所在生源相对所在市的背景基本一致，不一致的是组二非京籍教师所任教的每班学生人数更多，考试压力更大．

调研目的：（1）了解初中数学教师课堂培养学生思维的现状；（2）了解培训7个月后教师的变化，以备后面更有针对性地培训．

表1 教师教龄与职称及学历调查

调查问卷分4部分．第一部分是基本情况调查；第二部分了解数学概念、定理教学，被调查者重视学生思维参与的程度（选择题），培训过的被调查者还要指出学习前后是否有变化．第三和第四部分，题干是一个概念（圆周角）和定理（圆周角定理）的教学片段，被调查者写评议，并给出自己的设计要点．

选择圆周角概念和圆周角定理作为调查内容，主要理由有三点．其一，它们是初中数学“图形与几何”领域的核心概念和定理，也是初中数学的重要内容；其二，各版本教材一般将此内容安排在九年级，与其它内容的联系较多，培养学生的思维点也较多．其三，该内容在7个月的培训中还没有作为研究课研讨过．

培养学生思维能力的效果，由教师相应的PCK所决定的．研究运用“PCK-方式”分析框架，通过对圆周角概念和圆周角定理教学片段的评议和设计（显性方式）的分析与总结，反推教师培养学生思维能力的PCK差异．

报告只涉及圆周角定理引入、分类、猜想及证明的调查与分析．

3 评议分析

3.1 片段展示

调查提供了“圆周角定理”第一课时的片段（研究者改编的某获奖设计），其内容如下．

师：请用量角器量一下图1的4个角：∠APB、∠AQB、∠ARB和∠AOB，它们之间是什么关系？你能得到什么猜想？

生：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

师：一条弧所对的圆周角有多少个？

生：无数个．

图1

师：对，如果能证明猜想，我们还能够得到同弧所对的圆周角相等．参看图 1，AB弧上的圆周角与圆心的位置关系归纳起来有几种情况？

生：3种．

师：哪3种．

生：圆心在圆周角的一边上、内部和外部．

师：好，我们分3种情况证明猜想．先看圆心在圆周角的一边上……

3.2 对教学片段所持不同态度的比例

被调查者对圆周角定理教学片段的评议，可归纳为 3种意见：赞同，部分赞同，基本否定，情况统计见表2．

表2 对教学片段所持不同态度的比例

持基本否定态度的教师，认为该设计牵着学生鼻子，学生机械地跟着教师朝前走；禁锢（束缚、绑架）了学生思维，思维没有得到锻炼．

持赞同态度的教师，认为设计理念较好，让学生探究，得出结论，再去证明，符合学生的一般认知规律．

事实上，作为“圆周角定理”第一课时的学习，以下问题应该也适合（启发到位）学生思考：

为什么要研究圆周角与圆心角的关系？圆周角与其它角（如圆内角、圆外角）的关系值得研究吗？

为什么研究圆周角与圆心角处于同弧位置的关系？还有其它位置（如同弦）值得研究吗？从哪些方面研究圆周角与圆心角的关系？

猜想圆周角与圆心角的大小关系，除了借助量角器度量的方法、折叠重合的方法进行，作为初三学生还有其它方法吗？

如何想到按圆心与圆周角的关系，将圆周角分为三类？

为什么分三类证明猜想（圆周角定理）？

为什么先证明圆心在角的一边上情形？

……

调查提供的教学片段以上问题一个也没有让学生思考，而以低思维含量的问题串牵引学生，学生的思维参与极低．

由表2可以发现，参训7个月的教师有81%能透过现象发现设计的问题，而对比组仅有17%持基本否定的态度，足以说明干预的效果明显．

3.3 关注学生思维参与的比例

被调查者对圆周角定理第一课时设计片段，主要环节可概括为：定理引入；圆周角分类；猜想圆周角与圆心角关系；分类证明．有些教师将引入和猜想合一，有的用分类作为引入，分类有在猜想之前，也有在猜想之后或证明之始．表3汇集了被调查者设计的各环节关注学生思维参与的比例．

表3 关注学生思维参与的比例

100%的被调查者注意到了定理教学的过程，但从表 3可以发现，其教学过程关注学生思维参与的比例较低，特别是未参与相关培训的教师．不少教师设计的过程是以问题串实现的，而问题串几乎为“是什么”的问题，未涉及“为什么”的问题，或“怎么样”的策略问题，没有营造思维的空间，学生的思维能力也无从发展．这样的问题串，映射出教师的PCK仅仅将定理作为事实性知识教学．

4 调查结果

持赞同态度的59%的教师（表2中的组二），其设计与所给片段基本相同或稍作调整，比如先让学生测量 4个角（图1），将问题具体为：（1）3个圆周角什么关系？（2）3个角和圆心角有什么关系．

有16%的教师换掉图1，而改为先让学生任意画同一条弧所对的圆周角和圆心角，分别测量两个角的大小．再让学生画该弧的另一个圆周角，并思考这样的圆周角能画多少个，然后猜想圆周角与圆心角度数之间的关系．

上述两种设计，前者来源于研究者提供的设计，后者来源于教材．此现象说明：（1）不少教师易受“权威”的影响，教学设计前期分析研究不够；（2）多数教师满足于与学生互动的教学过程，没有意识到这些直接指向结果的操作和问答是低思维参与的活动；（3）不少教师不知怎样设计“脑动”大于“手动”和“嘴动”的活动．

参与“基于学生数学思维能力培养的教学改进”项目的32名教师，自我陈述“每一个数学定理的教学，我都重视学生思维的参与”，60%的教师由学习前的“基本符合”到现在的“完全符合”，16%由学习前的“不符合”到现在的“基本符合”，3%由学习前的“不符合”到现在的“完全符合”，3种改变合计有79%的教师．结合这些教师参加培训后的设计、反思及课堂实践，这种转变正在发生．表2与表3的对比数据，也表明针对性的持续浸润式培训，特别是培训者参与的同课异构，对参训教师观念的转变与行为的跟进有较大影响．

同时发现，教学是否真正创设了学生思维参与的空间，与教龄、学历、职称的相关性较弱，但与教师对数学教育教学内容本质的认识和教育视野的宽度、高度程度密切相关．

5 结论与建议

定理学习是培养学生思维能力的优质素材，创设思维的空间，将思维能力的培养自然融入到教师的教学行为中，需要专业引领．

5.1 结 论

数学教学中关注“过程”已成共识，但缺少思维价值的问题或操作充斥教学过程，而有些教师浑然不知．参训者浸润在真实的教学现场——常规课堂中，通过讲课或观课（平均每月两次的频率）前后的设计反思、小组合作的磨课互学、培训者与参训者的同课异构及专业引领的说课议课等主要形式，能影响教师的教育观念，进而改变教师的行为．

5.2 建 议

5.2.1 引入要关注问题提出

创设学生经历研究圆周角度数问题的发现和提出过程，例如从圆周角出发，让学生思考可研究的问题：研究圆周角角度的范围、与什么相关（弧、弦、圆心角……）；研究圆周角位置（一个角、两个角……）、圆周角与圆心角的位置关系……即，不静止孤立地研究圆周角与圆心角的度数问题，而是站在数学系统的角度有序思考，这既是数学学科本身的要求，也是学生思维发展的需要．

5.2.2 过程要重视为什么及怎么想的问题

为什么及怎么想的问题是最有思维价值，教师在教学内容分析时，要先问问自己，想宽想深想高，然后再进行教学法加工，并合宜地抛给学生．

5.2.3 思考要在做之前

显然“想”在“做”之前，比“想”在“做”之后思维参与度要高，当然要杜绝“只做不想”的零思维活动．因此随着学生年龄的增长，“想在做之前”这条原则在数学教学，特别是定理教学更应发扬光大．

5.2.4 特例既是猜想也是证明的突破口

问题1：Rt△ACB中（图2），点O是斜边AB中点，则点A、B、C在同一圆上吗？为什么？

问题2：在图3中，你看见几个圆周角，几个圆心角，它们有关系吗？证明你的发现．

问题3：问题2证明的结论，你还能得到什么猜想？如何证明？

图2

图3

3个问题是递进的，也是开放的．

利用斜边中线等于斜边一半，学生很快得到A、B、C在同一圆上．图2是数学的基本图形，斜边中线性质也是学生熟知的，但A、B、C共圆的结论是新的，这个结论将原问题的元素（点、线、角）转化为圆中的相关元素（圆心、圆上点；半径、直径、弦；圆周角、圆心角），不仅起到了承上启下之目的，也为将来的几何问题相互转化，借助圆的旋转不变性、对称性、圆周角的灵活性解决问题打下伏笔，同时也激发了学生挑战的欲望．

在问题2中，学生很易发现3个圆周角：∠ABC、∠BCA、∠CAB，其和为180°；3个圆心角（当然不止3个）：∠COA、∠COB，∠BOA（此角有些学生意识不到，需稍加提示），其和为360°；∠BCA=1/2∠BOA．于是学生能猜想到另两组同弧的圆周角与圆心角的半倍之间的关系，并能证明．在此基础上，学生自然会讨论圆周角与圆心角的位置关系，顺利得到圆周角与圆心角角度关系的猜想，继而分情况并转化为特例情形证明．

上述设计关注到学生已有的经验，沟通了知识间的联系．这个特例的选取，一方面突破了猜想、分类证明的困惑，避免了度量猜想的低思维活动，也增大了学生思维的空间．

提升学生思维能力，首先需要在实践中让教师清醒地认识到：“数学中最重要的是动脑、而不是动手”[9]；“数学思维往往以已有的东西（活动、运演、概念、理论等）作为直接的分析对象，并就主要表现为由较低的抽象层次上升到了更高的层面”[9]．其次，提升教师对数学教学内容本质和教育价值的把握，继而转化为相应的PCK．

[1]普通高中数学课程标准（实验）[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[2]义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[3]李祎．高水平数学教学到底该教什么[J]．数学教育学报，2014，23（6）：31-35．

[4]宁连华，涂荣豹．中国数学基础教育的继承与发展[J]．数学教育学报，2012，21（6）：6-9．

[5]宋辉，惠群，余水．高中数学教学现状调查研究——基于教师专业素养的视角[J]．数学教育学报，2014，23（6）：58-62．

[6]周超，鲍建生．形成学生高水平数学思维的策略——一线教师之观点[J]．数学教育学报，2012，21（4）：36-39．

[7]郑毓信．“数学与思维”之深思[J]．数学教育学报，2015，24（1）：1-5．

[8]单墫．数学是思维的科学[J]．数学通报，2001，（6）：0-2．

[9]郑毓信．数学教育改革十五诫[J]．数学教育学报，2014，23（3）：1-7．

Investigation and Analysis of Mathematical Theorems Teaching Based on the Training of Students’ Thinking——Taking Teaching Design of “Inscribed Angle Theorem” as an Example

WU Chun-lan
(Mathematical Department, Beijing Institute of Education, Beijing 100120, China)

Adopting the framework “PCK-way” analysis, through comparative analysis and summary to review of “inscribed Angle theorem” teaching segments and design, a conclusion can be drawn out with inverse method to investigate PCK difference for teachers training students’ thinking ability: in the mathematics teaching focus on “process” has become a consensus; but the problem or operation are lack of thinking value are full of the teaching process; and some teachers are not aware of them. Trainees present at the scene of the real teaching site, i.e., a regular classroom, through reflection of teaching design before and after the lecture or observation (twice a month on average frequency), mutual learning among members of small group, discussion among trainers and trainees on heterogeneous forms for the same subject and professional guides as main form, the teacher’s education idea can be affected, and their behavior can be changed.

thinking; inscribed Angle theorem; infiltrating type; PCK

G632

A

1004–9894（2017）01–0055–04

[责任编校：周学智]

2017–01–10

北京市教育学会“十三五”规划课题——基于学生数学思维能力培养的教学改进研究（FS2016-032）；天津市哲学社会科学规划重点项目——立德树人背景下中学生学科核心素养测评——以语数外为例（TJJX16-007）

伍春兰（1963—），女，广东台山人，副教授，主要从事数学教育研究．