从等比数列前n项和公式推导谈定义的功能
2017-04-29刘占科
刘占科
【摘要】等比数列求和公式的推导，按照传统的、教材通用的错位相减法来进行教学，学生总有一些疑虑，这个方法是怎么想到的呢？教师在教学过程中如果按照教材的推导方法讲授，虽然得出了结论，但总有一种牵强和意犹未尽的感觉.如何才能对等比数列求和公式给出一个合理的、学生和教师都能够接受的思维解释呢？下面针对自己对等比数列前n项和的教学，谈一下个人的想法.
【关键词】等比数列；定义
等比数列的定义是等比数列的核心，笔者认为等比数列的求和公式一定是从定义入手的，这一点毋庸置疑.只有正确理解等比数列定义的实质、把握定义的内涵和外延、才能达到灵活运用定义，才能对等比数列问题进行正确地分析、推理和论证.
在等差数列前n项和公式的推导中，其求和思想是从等差数列的定义入手，充分运用公差在等差数列中的递推作用.
即d=a2-a1=a3-a2=…=an-1-an-2=an-an-1.
因此，有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an-1+a2=an+a1，
而Sn=a1+a2+…+an-1+an，
倒序后Sn=an+an-1+…+a2+a1，
相加得2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an-1+a2）+（an+a1）=n（a1+an），
所以Sn=n（a1+an）2，
将an用a1+（n-1）d代换得到另一个求和公式Sn=na1+n（n-1）d2.
等差数列的这种求和方法称作倒序相加法.可以看出等差数列前n项和公式是用等差数列的五个基本量，首项a1、公差d、项数n、末项an及前n项和Sn中的三个基本量来表达的.
类比等差数列，等比数列中也有五个基本量，首项a1、公比q、项数n、末项an及前n项和Sn，我们能否像等差数列前n项和Sn那样用三个基本量来表达等比数列的前n项和Sn呢？
与推导等差数列的前n项和一样，我们也从等比数列的定义入手.
思路一从等比数列的定义入手，充分运用公比在等比数列相邻两项间的传递作用，即
a1q=a2，a2q=a3，…，an-1q=an，
Sn=a1+a2+…+an-1+an.
观察这个等式，结合刚才的分析，对这个等式两边同乘公比q的话，恰好可以得到下列的表达式：
qSn=a2+…+an-1+an+anq.
（因为我们想用基本量表示前n项和，因此，我们没有把anq用an+1来表示）
仔细观察这两个等式，有共同的和式a2+…+an-1+an，因此，做差可以消去这个和式得到：
（1-q）Sn=a1-anq.
当q=1时，an=a1，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a1-anq1-q.（1）
我们利用等比数列的通项公式把an用a1qn-1来表示，得到等比数列前n项和的第二种形式的公式
Sn=a1（1-qn）1-q（q≠1）.（2）
我们把等比数列的这种求和方法称作错位相减法.
公式（1）用首项、公比和末项表达公比不为1的等比数列的前n项和，公式（2）用首项、公比和项数来表达公比不为1的等比数列的前n项和.
思路二深挖等比数列定义的功能，深刻领会公比是等比数列任意相邻两项的比这一传递性（后项与相邻前项的比值）.
根据等比数列的定义把公比用下列分式来表达
q=a2a1=a3a2=a4a3=…=anan-1.
那么如何从上式中出现前n项和Sn，即a1+a2+…+an-1+an的形式呢？
很自然地想到等比定理：q=a2+a3+…+ana1+a2+…+an-1.
结合an与Sn的关系得到q=Sn-a1Sn-an.
整理得（1-q）Sn=a1-anq，以下同思路一的讨论.
以上两种方法推导等比数列前n项和公式，从定义入手给“错位相减法”一个很完美的思维解释，可以说扫清了学生的思维障碍.我们体会到推导过程中考虑问题要严谨、全面，要适时对公比进行分类讨论；从推导过程来看，要重视公比在推導过程中无可替代的地位，深刻理解等比数列五个基本量的作用，体会方程的思想；从思路二的推导过程中借助等比定理，巧妙地向前n项和转化，体现了转化和化归的思想.定义是我们推导前n项和的源泉，定义具有双重的功能，既为我们判断一个数列是否为等比数列提供了依据，又可以作为等比数列的最重要的性质，赋予了等比数列更丰富的内涵.
通过对等比数列前n项和的推导，对传统的推导方法进行了创新，从不同的视角给出了求和公式的两种推导方法.通过求和公式的推导，使学生对数学思想（分类讨论、方程思想、转化思想）有了更深刻的理解，突出了等比数列定义的重要作用和公比在推导过程中的特殊地位，使学生更加重视对定义的理解和运用.
总之，加强对数学概念和定义的教学是非常重要的.只有充分重视数学概念和定义，用科学、严谨的文字、符号或图形表达定义的本质，通过对概念、定义的联系、比较，寻找它们的共性和个性，能激发学生的学习欲望，从而提高学生的学习兴趣、理解能力和创造性，提升学生的数学素养.
