论高次方程

哈尔滨师范大学研究生 马正方

论高次方程

哈尔滨师范大学研究生 马正方

本文以等比等差复合数列为导向，揭示了高次方程上不封顶的走向，推出了关于高次方程的四个定律，并且对“五次以上的方程无解”具有一定的挑战性。

高次方程；等比等差复合数列；定律；指数；系数

定律：任何四项的数列a1、a2、a3、a4，并且a1、a2、a3为三项的等比数列，a2、a3、a4为三项的等差数列（如此数列称作等比等差复合数列），则（a2×a3）－（a1×a4）= a1×a2×（公比－1）2。

举例如下：

例1 1、2、4、6这样的等比等差数列，则（2×4）－（1×6）=1×2×（公比2－1）2=1×2×12=2。

例2 8、24、72、120这样的等比等差数列，则（24×72）－（8×120）=8×24×（公比3－1）2=8×24×22=768。

例3 3、15、75、135这样的等比等差数列，则（15×75）－（3×135）=3×15×（公比5－1）2=3×15×42=720。

例4 2、5、12.5、20这样的等比等差数列（前三项的公比为2.5，后三项的公差为7.5），则（5×12.5）－（2×20）=2×5×（2.5－1）2=22.5。

另外，在研究过程中发现：（21+9）－（17+11）=（21×9）－（17×11）=（21－9）÷（17－11）=2。如此这般，运算符号改变却结果数不变，并且9÷21=0.428571（如此循环小数），11÷17=0.6470588235294117（如此十六位循环小数，并且小数点之后除了0、3、6、9四个数，其他的数4、2、8、5、7、1均存在两个）。这样的数字难道独一无二吗？

定律的普遍意义：数学是宇宙的语言。该定律昭示：其中的等比数列可称为雄性，等差数列可称为雌性，a1×a2×（公比－1）2可称为两性复合交配所产生的后代，（公比－1）2可称为遗传的基因。

等比等差复合数列的概念：等比等差这两样数列重复性配合在一起。重复性在于：等比数列的最后一项是等差数列的第二项，等比数列的“倒数”第二项是等差数列的首项，从而造成这样的事实：该复合数列的中间两项被等比等差这两样数列所共有同管。等比等差复合数列孕育高次方程的新常态，“高次”得无穷无尽无穷大，上不封顶，要多少就有多少，可实现满意的期望值。该复合数列是知识爆炸的导火索，是数学发现的新大陆。

等比等差复合数列的综合定律之一：对于该数列来说：（1）当数列的项数是大于3的偶数时（a1、a2、a3、a4……），则等比等差这两个数列的项数都为该复合数列的项数的一半再加1；该复合数列的项数必须是偶数，以便能被2整除。（2）当该复合数列的“项数”是4时，则（a2×a3）－（a1×a4）= a1×a2×（x－1）2×1x0，由于x的系数是1并且指数是零，该数值等于1，1x0作为乘数不影响方程的成立，似乎有无均可，但是1x0却是基础性的存在啊！当“项数”是6时，则与该数列首尾两项相邻的两项相乘之积减去首尾两项相乘之积（以下同理）：（a2×a5）－（a1×a6）= a1×a2×（x－1）2× 2x；当“项数”是8时，则（a2×a7）－（a1×a8）= a1×a2×（x－1）2×3x2；当“项数”是10时，则（a2×a9）－（a1×a10）= a1×a2×（x－1）2×4x3；当“项数”是12时，则（a2×a11）－（a1×a12）= a1×a2×（x－1）2×5x4；当“项数”是14时，则（a2×a13）－（a1×a14）= a1×a2×（x－1）2×6x5；如此这般发展下去，其中x为该等比数列的公比（公比可以是小数分数，如2.5之类），其中所有的乘数“1x0、2x、3x2、4x3、5x4、6x5……”之类的系数构成无穷的自然数列，并且指数构成零和无穷的自然数列。存在这样的规律：该复合数列的项数减去2之差除以2等于系数，系数减去1等于指数。例如：“项数”是14时涉及6x5，（14－2）÷2=6，6－1=5。（3）如上所述，等比等差复合数列的项数及其所涉及的系数和指数存在连锁反应，项数的大小决定系数和指数的大小，并且无穷无限之大，要多大就有多大，上不封顶，随心所欲，感受神奇，如此这般，要归功于组合数学。等比等差复合数列就是把等差数列和等比数列有机地组合了。

例1 10项的等比等差复合数列1、2、4、8、16、32、48、64、80、96，其中前六项为等比数列（公比为2），后六项为等差数列（公差为16），则（2×80）－（1×96）=1×2×（公比2－1）2×（4×23）=64。

例2 8项的等比等差复合数列3、9、27、81、243、405、567、729，则（9×567）－（3×729）=3×9×（公比3－1）2×（3×32）=2916。

例3 14项的等比等差复合数列1、2、4、8、16、32、64、128、192、256、320、384、448、512，则（2×448）－（1×512）=1×2×（公比2－1）2×（6×25）=384。

例4 8项的等比等差复合数列4、10、25、62.5、156.25、250、343.75、437.5（前五项的公比是2.5，后五项的公差是93.75），则（10×343.75）－（4×437.5）=4×10×（公比2.5－1）2×（3×2.52）=1687.5。

例5 8项的等比等差复合数列200、100、50、25、12.5、0、－12.5、－25（前五项的公比是0.5，后五项的公差是－12.5），则［100×（－12.5）］－［200×（－25）］=200×100×（公比0.5－1）2×（3×0.52）=3750。

为什么称作等比等差复合数列呢？因为等比等差两个数列不是前后衔接，而是重复性交接。也就是说，等比数列的尾项是等差数列的第二项，等比数列倒数第二项是等差数列的首项，等比等差两个数列有两个相同的数字。如此这般，两个数列及其后续运算有机地组合起来，这就是组合数学。随着科学的发展和时代的进步，组合数学日益显示出了强大的生命力和满意的期望值。数学大师陈省身说“数学好玩”。等比等差数列这种有机的组合恰似抱团取暖，可以产生一定的规模效应，从而提高数学的层次，往往具有“好玩”的性能，特别有助于开发青少年的智力，培养对数学的爱好，当涉及的数字较大时，可充分发挥计算器和计算机的作用。

等比等差复合数列的综合定律之二：对于该数列来说：（1）当数列的项数是大于5的偶数时（a1、a2、a3、a4、a5、a6……），则等比等差这两个数列的项数都为该复合数列的项数的一半再加1；该复合数列的项数必须是偶数，以便能被2整除）。（2）当该复合数列的“项数”是6时，则该数列中间两项的相乘之积减去与中间两项相邻的两项相乘之积（以下同理）：（a3×a4）－（a2×a5）= a1×a2×（x－1）2×x2；当“项数”是8时，则（a4×a5）－（a3×a6）= a1×a2×（x－1）2×x4；当“项数”是10时，则（a5×a6）－（a4×a7）= a1×a2×（x－1）2×x6；当“项数”是12时，则（a6×a7）－（a5×a8）= a1×a2×（x－1）2×x8；如此这般发展下去，其中x为该等比数列的公比（公比可以是小数分数，如2.5之类），其中所有的乘数“x2、x4、x6、x8”之类的指数构成无穷的以2为首项的偶数数列，并且“项数”减去4等于该乘数的指数，项数的大小决定指数的大小，项数越大指数越大，上不封顶，随心所欲，感受神奇。

例1 8项的等比等差复合数列4、10、25、62.5、156.25、250、343.75、437.5（前五项的公比是2.5，后五项的公差是93.75），则（62.5×156.25）－（25×250）=4×10×（公比2.5－1）2×2.54=3515.625。

例2 8项的等比等差复合数列200、100、50、25、12.5、0、－12.5、－2.5（前五项的公比是0.5，后五项的公差是－12.5），则（25×12.5）－（50×0）=200×100×（0.5－1）2×0.54=312.5。

等比等差复合数列的综合定律之三：任何四项的等比等差复合数列a1、a2、a3、a4，则（a2×a4）－（a1×a3）=2（x ×a1）2（x－1），x为前三项等比数列的公比。

例1 四项的等比等差复合数列5、25、125、225（后三项等差数列的公差是100），则（25×225）－（5×125）=2×（公比5×首项5）2×（公比5－1）=5000。

例2 4、24、144、264，则（24×264）－（4×144）=2×（公比6×首项4）2×（公比6－1）=5760。

例3 四项的等比等差复合数列2、4、8、12，则（4×12）－（2×8）=2×（公比2×首项2）2×（公比2－1）=32。

例4 四项的等比等差复合数列5、15、45、75，则（15×75）－（5×45）=2×（公比3×首项5）2×（公比3－1）=900。

如例题所示，前三项为等比数列，后三项为等差数列，这样的复合数列都符合综合定律之三，该定律之中的系数和指数都是2。

等比等差复合数列的综合定律之四：对于该数列来说：（1）当数列的项数是大于5的偶数时（a1、a2、a3、a4、a5、a6……），则等比等差这两个数列的项数都为该复合数列的项数的一半再加1；该复合数列的项数必须是偶数，以便能被2整除。（2）当该复合数列的“项数”是6时，则该数列的第二项与最后一项这两项的相乘之积减去该数列的首项与倒数第二项这样两项的相乘之积（以下同理）：当a1、a2、a3、a4的公比x=3时，则（a2×a6）－（a1×a5）=（a1）2×4×4x2；当公比x=2时，则（a2×a6）－（a1×a5）=（a1）2×5x2。当“项数”是8时，a1、a2、a3、a4、a5的公比x=3时，则（a2×a8）－（a1×a7）=（a1）2×4×5x3；当公比x=2时，则（a2×a8）－（a1×a7）=（a1）2×6x3。当“项数”是10时，a1、a2、a3、a4、a5、a6的公比x=3时，则（a2×a10）－（a1×a9）=（a1）2×4×6x4，当公比x=2时，则（a2×a10）－（a1×a9）=（a1）2×7x4。如此这般，对相同“项数”的两个复合数列来说，公比是3和是2，其系数为相邻的自然数（如6x4、7x4之中的6和7是相邻的自然数）；对于所有复合数列的“项数”（如6、8、10、12……）不断偶数化，x的指数构成以2为首项的自然数列，所有指数的次数上不封顶，随心所欲，感受神奇。项数、系数、指数存在连锁反应的规律性：系数是项数的一半所产生的连续两个自然数，指数是所连续的第一个自然数减去2所得的差数（例如当项数是6时，6的一半是3，4x2和5x2之中的4和5是3的连续两个自然数，指数2是4减去2之差）。等比等差复合数列堪称数学的富矿，存在许多神奇奥妙有待开发啊！

例1 公比x=3时，8项的等比等差复合数列5、15、45、135、405、675、945、1215（后5项等差数列的公差为270），则（15×1215）－（5×945）=52×4×（5×33）=13500。

例2 公比x=2时，8项的等比等差复合数列3、6、12、24、48、72、96、120（后5项的公差为24），则（6×120）－（3×96）=32×（6×23）=432。

例3 公比x=2时，6项的等比等差复合数列0.5、1、2、4、6、8，则（1×8）－（0.5×6）=0.52×（5×22）=5。

学问，学问是什么？学问就是把原本简单的东西搞复杂，或者把原本复杂的东西搞简单啊！当然，所搞成的复杂或简单都是经得起实践检验的真理啊！

方程的定义是“含有未知数的等式”，如此等式在本文中比比皆是，且为高次方程。数学历史出现过阿贝尔关于五次以上的方程无解之说，然而是否意味由于本文使得阿贝尔之说站不住脚呢？但愿本文能起到抛砖引玉的作用。