用代换法求曲线方程和函数解析式

崔禹

摘要：利用代换法解决函数解析式和曲线方程问题，是一種常用的数学方法。主要利用一般点的坐标代换解决看似非常杂乱的图形变换问题。

关键字：代换法 具体点坐标 转换 方程和解析式

在数学学习和解题过程中，经常会遇到已知图形或几何条件，经过一系列的转化，变成新的曲线，求解新曲线方程和函数解析式的问题。如果方法不完善，将会无从下手。其实，在解决曲线方程和函数解析式的问题上，我们主要是解决曲线上的任一点P（x，y）的横坐标x和纵坐标y之间的关系式。在解决该类问题时，我们可以根据条件的转化，遵循“要求谁即设谁”的原则，设出要求的点的坐标，转化为已知点的坐标，代换到已知方程中，“变未知为已知”，解决实际问题。

一、 函数图像对称问题

1、一个单一函数有对称轴的问题

例1 函数y=f（x）图像关于x=2对称，当x<2时，f（x）=x2+2x，

求x>2时，f（x）解析式。

解：设x>2，则4-x<2，此时（x， f（x））、（4-x， f（x））均在y=f（x）图像上。

所以，f（x）=（4-x）2+2（4-x）=x2-10x+24

即x>2时，f（x）= x2-10x+24。

同样可以证明，若函数f（x）关于x=a对称，（即有对称轴x=a），

则①f（a+x） =f（a-x）

②f（x）= f（2a-x）

③f（b+x） =f（c-x） （其中 a）

2、两个函数关于直线或点对称

例2 函数f（x）=log3（x+5），函数g（x）与函数f（x）的图像关于直线x=3对称，求g（x）解析式

解：设y= g（x）上任一点的坐标为（x，y），函数f（x）与函数g（x）的图像关于直线x=3对称，

则（x，y）关于直线x=3对称点（6-x，y）在函数f（x）图像上。代入得：

y= log3（6-x +5）= log3（11-x）

即g（x）解析式为：g（x）= log3（11-x）

例3 函数f（x）=4x+5，函数g（x）与函数f（x）的图像关于点（3，4）对称，求g（x）解析式

解：设y= g（x）上任一点的坐标为（x，y），函数f（x）与函数g（x）的图像关于点（3，4）对称，则（x，y）关于点（3，4）对称点（6-x，8-y）在函数f（x）图像上。代入得：

8-y=4（6-x）+5

整理得：y=4x-21

即g（x）解析式为：g（x）= 4x-21

二、 函数图像或曲线的平移变换

例4 函数 图像向左平移 得g（x）图像，求g（x）解析式

解：设y= g（x）上任一点的坐标为（x，y），函数 图像向左平移 得g（x）图像，则g（x）图像向右平移 得 图像，（x，y）向右平移 得点（x+ ，y）在函数f（x）图像上。代入得：y= .

即g（x）解析式为：g（x）=

例5 曲线C1： 按向量=（3，4）平移得曲线C2：，求C2的方程。

解：设C2上任一点的坐标为（x，y）， 曲线C1：按向量=（3，4）平移得曲线C2，则

曲线C2按向量-=（-3，-4）平移得曲线C1，点（x，y）按向量-=（-3，-4）平移得（x-3，y-4）在C1上。代入得：

。

即C2的方程为：

结论： ①f（x） 向左平移a个单位，得f（x+a）

②f（x） 向右平移a个单位，得f（x-a）

三、 函数图像或曲线的伸缩变换

例6 函数f（x）=sin（2x+4）图像上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得函数g（x）图像，求g（x）解析式。

解：设y= g（x）上任一点的坐标为（x，y），

函数f（x）=sin（2x+4）图像上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得函数g（x）图像，则函数g（x）图像上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，得函数f（x）图像. （x，y）的对应点（ x，y）在f（x）图像上。

代入得：y=sin[2（ x） +4]=sin（x+4）

即g（x）解析式为：g（x）= sin（x+4）.

例7 曲线C1的方程为：y2=6x，曲线上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 ，得曲线C2，求C2的方程。

解：设曲线C2图像上任一点的坐标为（x，y），

曲线C1：y2=6x上每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的 ，得曲线C2图像，则曲线C2图像上每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C1图像. （x，y）的对应点（x，3y）在C1图像上。

代入C1的方程得：（3y）2=6x，

整理得：y2= x

即C2的方程为：y2= x

同样，可以得到其它的伸缩变换结论。

总结：用代换法求曲线方程和函数解析式，主要“求谁即设谁”，设要求的未知的函数图像或曲线上一点，根据题目要求，代换到已知的条件当中去，“变未知为已知”，求得最终的结论。

参考文献：

1.原慧芳.高中圆锥曲线与方程学习的问题研究[D].陕西师范大学.2011.05：29-31.

2.庄后伟.由曲线方程来谈高中数学创新教学[J].教育教学论坛.2012（4）：61-62.

3.雷鹏. 圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用[J].学周刊.2016（3）：134.