高考数学全国卷不等式选讲部分浅谈
2017-04-22陈艳
摘要：近年来，高考数学全国卷在更多的地区推广使用，對于新增使用全国卷的地区的考生来说需要做好更充分的准备，适应高考数学全国卷的出题方式，考出优异成绩。
关键词：高考数学；全国卷；不等式选讲
全国卷试卷所涉及的内容限定在考试大纲的范围之内，几乎覆盖高中所学知识的全部重要内容，体现“重点知识重点考查”原则。全国卷分为必做题和选做题。历年来，高考数学全国卷的选做题都来自选修4的内容，笔者就近几年的全国卷试题，结合教材，分析选做题第三个，来自选修4—5不等式选讲的一些知识点以及解题的技巧等等，希望能给广大高中生提供有用的价值。
1考点分析解读
不等式选讲是高考的选考内容之一，主要是考查绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法及不等式证明的基本方法。不等式选讲特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。
2方法技巧
2.1含有绝对值的不等式的解法
形如 型不等式主要有三种解法：
①分段讨论法：利用绝对值符号内式子对应方程的根，讲、将数轴分为 ， ， （此处设 ）三个部分，在每个部分上去掉绝对值符号分别列出对应的不等式求解，然后再取各个不等式解集的并集。
②几何法：利用 的几何意义：数轴上到点 和 的距离之和不小于（不大于） 的点的全体。
③图像法：作出函数 和 的图象，结合图象求解。
例 已知函数 ， .
（1）当 ，求不等式 的解集.
（2）若 的图象与 轴围成的三角形面积大于 ，求 的取值范围.
解：（1）证明：当 时， 化为
当 时，不等式化为 ，无解；
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ，解得 .
所以 的解集为 .
（2）由题设可得，
所以函数 的图象与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 ， ， ， 的面积为 .
由题设得 ，故 .
2.2证明不等式的方法
利用代数恒等变换以及放大、缩小是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等。也可以利用数学归纳法来证明不等式。
①比较法：证明不等式最常用的使用差值比较法。其基本步骤是： 作差； 变形； 判断差的符号； 下结论。其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差变形为几个因式的积或配成几个平方和的形式。有时除了使用差值进行比较之外，还可以使用作商法。
②综合法：从条件推导到结论的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论，即由因导果。
③分析法：从待证结论出发，一步一步地寻求使结论成立的充分条件，最后到达题设的已知条件或已被证明的事实，即执果索因。用分析法寻找解题思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析综合法。
④反证法：数学中的命题，都有题设（条件）和结论两部分。当我们证明一个命题时，不直接从题设出发推证结论成立，而是从否定这个命题的结论出发，通过正确、严密的逻辑推理，引出一个新的结论，而这个新的结论与题设矛盾（或与已知的定义、公理或定理相矛盾，或自相矛盾），得出原结论的反面不正确，从而肯定原结论是正确的，这种间接证明的方法叫做反证法。
⑤放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的。
⑥数学归纳法： 当 取第一个值 （例如 ）时，证明命题成立； 假设当 时命题成立，并证明当 时，命题也成立。于是对一切 ，命题都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。
例 设 ， ， ， 均为正数，且 ，证明：
（1）若 ，则 ；
（2） 是 的充要条件.
分析：（1）要证明 ，只需要证明 ，展开结合已知条件易证；（2）充要条件的证明需要分为两步，即充分条件的证明和必要条件的证明，证明的关键是寻找条件和结论以及它们和已知之间的联系.
证明：（1）因为 ， ，由题设 ， ，得 ，因此 .
（2）①若 ，则 ，
即 .
因为 ，所以 .
由（1）得， .
②若 ，则 ，
即 .
因为 ，所以 .
于是 .
因此 .
综上， 是 的充要条件.
3结束语
全国卷强调“能力立意”，文、理科学生均以知识为载体，以思维能力为核心，全面考查其推理论证、运算、空间想象、数据处理以及应用和创新能力。广大考生在高考前的数学复习中应精选例题，避免题海战术，关注在知识、方法、能力上的缺陷，将复习过程转化为不断提出问题、解决问题的探索过程，能够主动对知识、方法进行归纳、概括。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2003.
[2]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.
作者简介：
陈艳（1993—），女，汉，硕士研究生，单位：西华师范大学
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