平面直角坐标系中“混”“漏”要不得

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在学习平面直角坐标系时，由于对平面直角坐标系的基本特征、点的坐标的意义等知识理解不到位，常常会出现“混淆”和“漏解”的情况。

一、横坐标、纵坐标的顺序混淆

例1 点P（3，-4）到x轴、y轴的距离分别是______。

【错解】点P到x轴的距离是3，到y轴的距离为4。

【错解分析】本题的错因在于未能正确理解点的坐标与点到坐标轴之间的距离的关系。要求一点到坐标轴的距离，应该先过该点分别向x由和y轴作垂线，再找出到两坐标轴的距离。由于点P的横坐标是3，纵坐标是-4，所以点P到x轴的距离是|-4|=4，到y轴的距离为|3|=3。

【正解】点P到x轴的距离是4，到y轴的距离为3。

例2

已知点P（m-1，m）在x轴上，则点P的坐标为______。

【错解】点P的坐标为（0，1）。

【错解分析】本题的错因在于将坐标轴上点的特征搞混淆了，错以为x轴上的点的横坐标为0。事实上，x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0。

【正解】点P的坐标为（-1，0）。

二、横坐标、纵坐标的符号混淆

例3 点P（m-1，n），如果m>1，n<0，那么點P在第几象限？

【错解】第二象限。

【错解分析】本题的错因在于未能搞清各个象限点的横坐标、纵坐标的符号情况：第一象限内点的横坐标、纵坐标的符号都为正;第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正;第三象限内点的横坐标、纵坐标的符号都为负;第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负。

【正解】由于m-1>0，n<0，所以点P在第四象限。

例4点P（3，-4）关于x轴对称的点的坐标是____。

【错解】（-3，-4）。

【错解分析】本题错在未能弄清平面直角坐标系内对称点的关系：两点关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数;两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同;两点关于原点对称，横坐标、纵坐标都互为相反数。

【正解】（3，4）。

三、考虑问题不全面出现漏解

例5 已知点P到两坐标轴的距离都为5，则点P的坐标为____。

【错解】（5，5）。

【错解分析】本题的错因在于由已知条件仅仅想到了对应的横坐标、纵坐标都为5，未能考虑到距离是一个非负数，而点的坐标可以取任意实数。这里不仅要考虑第一象限内的点，还应该考虑其余象限内的点。

【正解】（5，5），（-5，5），（-5，-5）（5，-5）。

例6

已知A、B、C三点的坐标分别为（0，0），（2，0），（1，2），若以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标是____。

【错解】（3，2）。

【错解分析】本题的错因在于形成思维定式，只考虑了D点在第一象限内的情况。要使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，应该分类讨论，即分别以AB、AC、BC为对角线来讨论，进而求出对应的D点坐标。

【正解】（3，2），（1，-2），（-1，2）。

对于“混淆”和“漏解”的问题，我们通常的解决途径有两种：一是熟练理解平面直角坐标系的基本特征和规律，用代数方法来解;二是根据题目意思画出图形，数形结合，轻松得解。