数论知识融入高考试题成新热点
2017-03-09郝保国
【摘要】数论知识在近年悄然渗透到高考数学之中,命题者编制出不少典型且巧妙的试题,使高考数学与自主招生甚至竞赛数学拉近了距离.文章从取整函数、不定方程、奇数与偶数、倍数与余数、同余与剩余几个方面,介绍数论常被考查到的知识点,探究融入数论知识的高考数学试题的解题方法与策略.
【关键词】数论;取整函数;不定方程;奇偶分析;同余
数论知识原是数学竞赛内容,近年悄然融入到高考数学试题之中,先是在选择填空题中占一席之地,后来登堂入室解答题甚至压轴题,与数列、函数、不等式知识联袂出现,蔚然成为高考数学的新热点.这类试题覆盖面广、构思精巧、难度较大,深入研究这类试题很有必要.本文试图通过数论知识分类,探讨此类试题的解题思想与解题方法.1取整函数
取整函数也称为高斯函数,用符号[x]表示,定义为不大于x的最大整数; 取整函数常考查到的知识点与性质有:
2不定方程
变量取整数的方程称为不定方程,不定方程是数论中一个十分重要的课题[1].一般多元一次不定方程用辗转相除法.其他不定方程的类型很多,解题大多用到奇偶分析法、因式分解法、分類讨论法、换元法、构造法、无穷递降法、不等式估计法、同余法等.不少不定方程求解难度很大,甚至成为世界难题.
例2(2007年高考湖北理科数学第21题)已知m,n为正整数,
综上,不定方程的解只有n=2,3.
评注求解不定方程用到了不等式估计法与分类讨论法.第(Ⅲ)题是埃斯柯特问题的一个特例.我国数学家柯召与孙琦曾经研究了更一般的不定方程:xn+(x+1)n+…+(x+h)n=(x+h+1)n,获得了较重要的成果[2].
3奇数与偶数
4倍数与余数
设a,b∈[WTHZ]Z[WTBX],存在唯一的整数对(q,r),使a=bq+r,其中0 (1)a|b且b|ca|c;(2)a|b,a|ca|xc+yb(x, y∈[WTHZ]Z[WTBX]);(3)(a,b)=1,且 a|c,b|cab|c;(4)若(a,b)=1,a|bca|c. 例4(2015年高考北京理科数学第22题)已知数列{an}满足:a1∈[WTHZ]N[WTBX]*,a1≤36,且an+1=[JB({]2an ,an≤18 ,2an-36 ,an>18,[JB)](n=1 ,2 ,…) .记集合M={an|n∈[WTHZ]N[WTBX]*}. (Ⅰ)若a1=6,写出集合M的所有元素; (Ⅱ)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数; (Ⅲ)求集合M的元素个数的最大值. 解(Ⅰ)由已知an+1=[JB({]2an ,an≤18 , 2an-36 ,an>18[JB)]可知:a1=6,a2=12,a3=24,a4=12, 所以M={6,12,24}. (Ⅱ)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数,由已知an+1=[JB({]2an ,an≤18 , 2an-36 ,an>18[JB)],可用数学归纳法证明对任意n≥k,an是3的倍数.当k=1时,M中的所有元素都是3的倍数;如果k>1时,因ak=2ak-1或2ak-1-36, 所以3|2ak-1,又(2,3)=1,于是3|ak-1,即ak-1是3的倍数.类似可得,ak-2,…,a1都是3的倍数,从而对任意n≥1,an是3的倍数.因此,M的所有元素都是3的倍数. (Ⅲ)由于M中的元素都不超过36,由a1≤36,易得a2≤36,类似可得an≤36,其次M中的元素个数最多除了前面两个数外,都是4的倍数,因为第二个数必定为偶数,由an的定义可知,第三个数及后面的数必定是4的倍数,另外,由定义可知,an+1和2an除以9的余数一样. (1)若{an}中有3的倍数,由 (Ⅱ)知,所有的an都是3的倍数,所以an除以9的余数是3,6,3,6,…,或6,3,6,3, …,或0,0,0,0,….而除以9余3且是4的倍数只有12,除以9余6且是4的倍数只有24,除以9余0且是4的倍数只有36,则M中的数从第3项起最多2项,加上前面的2项,最多4项. (2){an}中没有3的倍数,则 an都不是3的倍数,对于a3除以9的余数只能是1,4,7,2,5,8中的一个,从a3开始an除以9的余数是1,2,4,8,7,5;4,8,7,5,1,2;…,不断的6项不依次序重复出现(可能从2,4,8,7,或5开始),从而知除以9的余数只能是1,2,4,5,7,8且为4的倍数(不大于36),只有28,20,4,16,32,8,所以M中的项加上前面2项最多有8项.而a1=1时,M={1,2,4,8,16,32,28,20},项数为8,所以集合M的元素个数的最大值是8. 评注第(Ⅲ)题也可以用穷举法来解,因为a1≤36,讨论还不算太繁杂.发现数列{an}的周期性,是解决这一问的关键.讨论数列{an}每一项被9除的余数,使解题过程化繁为简.5同余与剩余类 同余的定义:设m≠0,若m|(a-b),即a-b=km,则称a同余于b模m,b是a对模m的剩余,记作a≡b(mod m).剩余类定义:设m∈[WTHZ]N[WTBX]+,把全体整数按其对模m的余数r(0≤r≤m-1)归于一类,记为Kr.每一类Kr(r=0,1,2,…,m-1)均称为模m的剩余类.同一类中任一数称为该类中另一数的剩余.K0,K1,…,Km-1是模m的完全剩余类.这里常被考查到的结论有:(1)a≡b(mod m),b≡c(mod m)a≡c(mod m);(2)a≡b(mod m),c≡d(mod m)a+c≡b+d(mod m);(4)a≡b(mod m),c≡d(mod m)ac≡bd(mod m).例5(2015年高考江苏数学第23题)已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈[WTHZ]N[WTBX]*),Sn={(a,b)|)a整除b或b整除a,[JB(]a∈X,b∈Yn[JB)}],令f(n)表示集合Sn所含元素的个数. (1)写出f(6)的值; (2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明. 解(1)根据题意按a分类计数:a=1,b=1,2,3,4,5,6;a=2,b=1,2,4,6;a=3,b=1,3,6;共13个,所以,f(6)=13. 综上所述,结论对一切满足n≥6的正整数n均成立. 评注第(2)题按命题者的意愿,要求考生先由不完全归纳法得出结论,再用数学归纳法证明,但这样要求,反而限制了学生的思维发散. 从上面的例题可以看到,数论知识在高考试题中的渗透比较深,不少题难度比较大.如果从来没有进行过数论知识的培训,不了解数论中的方法与技巧,学生要想在这些题上拿到高分是很不容易的.因此,我们在平时的教学中,应该注意使用好选修教材《初等数论》,开阔学生的视野,做到有备无患. 参考文献 [1]潘承洞,潘承彪.初等数论[M].北京:北京大学出版社,1998. [2] 柯召,孙琦.关于方程xn+(x+1)n+…+(x+h)n=(x+h+1)n[J].四川大学学报(自然科学版),1962(2):9-18. 作者简介 郝保国(1958—),男,湖南祁东人,数学高级教师;主要研究方向是课程、教材、教法、竞赛等;华南师大校外硕士生导师,广东省优秀教师;在《数学传播》、《中学数学杂志》等刊物共发表论文86篇,辅导学生获国际数学奥林匹克竞赛金牌1人次.