理科立体几何为何青睐于坐标法解决问题的几点思考

王博　周龙虎

【摘要】通过对近十年间全国卷立体几何题中几何法和向量坐标法的应用概况的统计，及新课标对几何法和向量法的目标分析，从文、理科学习对比中彰显教材对学生能力培养的侧重点，几何法和向量法对比中突出向量法的便捷美，重新阐明了立体几何命题的出发点及几何问题坐标化——算法思想的本质.

【关键词】立体几何；几何法；向量法

1几何法和向量坐标法的应用概况

据统计，近十年来，全国卷对理科立体几何的考查基本上定位在两类问题上——位置关系及度量关系.第一类大多以证明题的形式考查线线、线面、面面间的位置关系问题（常是垂直或平行）；第二类大多以计算题的形式考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题.

以2016年各地理科数学卷的立体几何的考查情况为例，做一个简单的统计介绍.首先介绍全国卷Ⅰ、Ⅱ、III卷，还有浙江卷、四川卷、山东卷这几个省份的立体几何题目类似.第一问均为线面平行、垂直以及面面垂直的证明题，多以几何法证明；第二问均为求线面角和二面角问题，常采用向量坐标法解决，也有少量可以采用几何综合法证明.其次介绍江苏卷第一问证明线面平行，第二问证明面面平行，均可采用几何法证明.再次介绍上海卷第一问求三棱锥体积，采用三棱锥体积公式即可求得（即几何法），第二问求异面直线，采用几何法求解.最后介绍北京卷和天津卷，它们均有三小问，其中北京卷第一问证明线面垂直，采用几何法，第二问求线面角，采用向量坐标法，第三问探索性问题，证明线面平行，采用的向量坐标法.而天津卷第一问证明线面平行，第二问求二面角，第三问求线面角，均以向量坐标法解决.

综上，各地区针对立体几何的考查仍是保持往年一贯的出题习惯，无论是传统的几何法还是向量坐标法，似乎都是不偏不倚，第一问侧重几何法，第二问倾向于向量坐标法.

2新课标做何要求

传统高考对立体几何的考查，侧重于证明空间线面位置关系和相关数量关系.以平行、垂直、角、距离、面积、体积为主要考查点.而在新课标引入空间向量以后，立体几何的考查发生了变化，主要是证明线面平行、垂直以及面面平行、垂直，计算线面角、面面角，特别地以多面体和球为载体的线面位置关系的论证与计算.

高中新课程标准对立体几何中向量坐标法的应用有如下要求：理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.

向量方法与立体几何的高度融合，是数形结合的经典范例，但不一定要是向量的坐标运算，向量的字母运算（即线性运算）也是不能忽视的一大方法.甚至可以说，向量的字母运算背后有丰富的物理背景和几何意义、演绎过程中有强大的运算律，它才是向量的核心内容.坐标运算只是一种运用，一种表达罢了！我们难免会有疑惑：“是否是我们的高考命题导向跑偏了呢？”其实不然，细心的老师应该会发现，教材选修21中为了引导学生从整体上认识立体几何中的向量方法——“三步曲”是如何具体使用的，设置了4个例题，前两个例题都是用向量的字母运算解决的，第三、四个是用建系、用坐标运算解决的，并且在例3的后面有一个探究——“不建立坐标系，如何解决这个问题？”，实则用向量的字母运算要更简单！教材是花了浓墨的，至于高考不太待见，可能是向量的字母运算涉及的运算量要低些，也可能是抽象程度更高些.

3几点思考

3.1从对比中窥探端倪

对于文科立体几何，不少一线教师仍会教授向量方法在其中的应用，效果有多好呢，也未曾见得.编写教材的专家们为何区别对待文理科生的教学，相信一定有令人信服的理论和实践支撑，我个人认为是数学教学真正在践行“以人为本，尊重学生主体地位”的教育理念.

立体几何这一内容至少承载三大功能：培养学生的空间想象能力，培养学生的逻辑推理能力，培养学生的严谨与规范表达能力.文科生空间感较弱、逻辑性不强，其培养重心应在第一、二个上，而理科生书写规范较差，其培养重心则应在第三个上.这样就不难理解文理有别了！谈及此就不得不谈不分文理科后数学高考如何在此处命题的問题，设置选做题（一题倾向于用几何法解决，一题倾向于用向量坐标法解决），要求二选一，是一种做法，寻找“中间地带”，设置一个两法皆易操作的题也不是不可以.当然，这要取决于教材的编写.3.2以思想方法论论道

数学方法论主要研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则.它应该是我们实施任何教育举措的灵魂所在、准绳所依、理论根本.对于错综多变的立体几何问题，我们已经掌握了一套行之有效的万能办法——向量坐标法，一个需要动脑筋的问题转化为一个不需要动脑筋的问题，这不是进步是什么.

立体几何常用方法中，一是传统的几何法，需要学生有很强的空间想象能力，以及严谨的逻辑推理能力，这种方法无论是证明还是求解都要经历“作——证”的过程，对很多基础薄弱的学生来说都是很困难的；另一种是向量坐标法，这种方法不需要很强的空间想象能力，以及严谨的推理能力，只需要掌握向量坐标夹角公式，通过纯粹的代入运算即可得到相应的结果.

未引入向量法之前，学生都是很怕立体几何问题的，怕作辅助线和严谨的逻辑推理.向量法的引入，为立体几何解题提供了新的工具，无论是对线面或者是面面的垂直、平行的论证，亦或者对线面角和面面角的求解，都可以摆脱掉“作——证”过程，由代数运算完成，这样的几何问题代数化的转化，大大降低了立体几何中的论证、解题的难度.

3.3以课程目标为向导

数学课程的目标不是培养数学家，是培养具有数学素养的公民，以满足个人的发展与社会的进步.而从命题到解题不能总盯着锻炼学生的思维这个层面看，也应该注重其他方面的能力培养，比如运算能力的培养.很多学生的运算水准直接制约了数学能力，不能合理运用估算、精算、巧算，不注重算理，要么“死算无果”，要么“一算就死”.

用传统几何法求距离和夹角时，要满足三个步骤“作——证——求”，而其中的两个步骤“作——证”却是成了不少学生的拦路虎，谈之色变.因为这两个步骤不仅要求学生有很强的空间想象能力，更要有严密的逻辑思维能力.然而相对于传统几何法受到学生排斥，向量坐标法则更受学生青睐.向量坐标法需要学生建立合理的空间坐标系，运用向量夹角坐标公式，进行求解即可，直接回避了立体几何中的错综复杂的位置关系的演化，变成了纯粹的计算，大大降低了思维难度.

3.4工具意识与创新

能够用好工具，能规范作业才是立体几何的最终出发点.传统几何法在论证、求解立体几何问题时需要有繁琐的分析，以及严谨的推理，对很多学生来说难度较大.向量坐标法只需思路简单，过程清晰规范，计算结果正确即可，但往往又有很多学生做题不规范.向量坐标法的规范作答的一般要求：①建立空间直角坐标系，必须满足相交于一点的两两垂直的三条直线，没有的需要构造出这样的三条直线，同时需要注意建系要满足右手法则；②求出相关点的坐标，结合题目中的线段与平面信息，表示出所需的各点坐标；③计算出相关的直线的方向向量以及平面的法向量；④结合向量的线线共线、垂直公式进行论证平行与垂直关系，利用数量积公式计算空间角与距离问题；⑤转化为几何结论.

当然，工具优而用，也可以有些微创新.如求二面角所成平面角，不仅限于转化为两平面的法向量的夹角（或补角），也可根据二面角的定义，转化为求两平面内与交线垂直的向量的夹角（或补角）.3.5立足整体以渗透思想

数学是研究数量关系和空间形式的科学，空间几何又着重于研究位置关系与数量关系.新教材遵循“空间几何体→点、线、面的位置关系→空间向量与立体几何”的展开方式，第一个过渡体现了从具体到抽象的研究思路，属于抽象的第一步，为以后学习n维空间、距离空间等更抽象的空间奠定基础；第二个过渡不仅体现了向量的工具性，更有效地渗透了坐标化的思想.如立体几何问题中的圆锥曲线轨迹問题就是一类很好的问题，又比如解析几何的本质便是坐标化，很多问题都可以坐标化.坐标化让“算”变的无所不能，让每一个元素都找到自己的位置，位置关系的精确化就是量化.

作者简介

王博（1987—），男，河南省漯河市人，中学二级，主要研究方向是中学数学教育.工作中一直致力于高中数学教学教研和高考试题的研究.多篇教学案例和课件荣获市级及以上奖项，有多篇论文发表.