“大数论”探讨

高长江

[摘要]与“大数”相关的理论可以称为“大数论”，本文介绍了“大数”的含义，应用于“大数据”的运算，提出了大数理论内容——四个大数原理，还对其应用发展前景进行了探讨。

[关键词]数论;大数据;大数论

一、大数和大数论

定义：大数是很大的数值的数，可以接近无穷大。与“大数，，相关的理论可以称为“大数论”。“大数”即很大数值的数，大数不是无穷大，可以接近无穷大。在实际应用中，“大数”是一个有意义的数字。大数实际举例：人脑神经元的数量、互联网信息的数量、银河系恒星的数量等。

二、大数的表示和层级

（一）无穷大符号是∞，大数可以用∝表示

如果用∝表示大数个体，比如某个人脑神经元的个数，则大数群体可以用矩阵来表示。

其中∝_##表示大数个体，大数群体矩阵见图1。

在数学分析中，有无穷大量和无穷小量的概念。

若自变量x无限接近x0（或|x|无限增大）时，函数值f|x|无限增大，则称f（x）为x→0（或x→∞）时的无穷大量。无穷大量的倒数是无穷小量。无穷大量一定是无界量，无界量不一定是无穷大量。

无论多么大的常数都不是无穷大量。而大常数则为大数的典型例子。

对应于现实应用中，大数可隨时间变化。许多大数可以拆分表示为大常数与变量的和。即：∝_t等于C_∝加f（t）。

（二）大数的层级

1.大数的层级

大数个体定义为一级大数，大数群体为二级大数，以及三级、四级……大数。各级大数用∝_一、∝_二、∝_三……表示。

2.大数内部的层级

大数内部也可以由许多大数组成，也构成相应的层级。各级大数用∝_内一、∝_内二、∝_内三……表示。大数的层级是相对的层级，表现出数据间的相对层级关系。

三、大数运算的原理

大数运算，是指很大的数值的数进行的一系列运算。在数学中，数值的大小没有上限，可是在计算机中，由于字长限制，计算机所能够表示的范围有限，对于较小的数运算时，这些数值没超出计算机表示范围，可以运算。但在实际的应用中，参与运算的数会超过计算机的基本数据类型表示范围。比如天文学上，某星球与我们100万光年距离，如果将其化简为公里，或是米时将是一很大的数，因此计算机无法进行直接计算。

在某些领域内，甚至可以出现几百万位的数据运算。在计算机中无法直接表示，大数运算是通过数据结构的线性表，将大数拆分后存储其中。大数除法，可类比人类手算，添位比较取商，中间结果与除数相减所得到的差参与下一轮的运算，直到结束。利用数组连续性，将大数每一位上数字单独取出放人对应数组格内，然后再对每一位做单独加减乘运算。这类似于小学学习加减乘所列出的式子。

（一）大数加法

∝_如加∝₂等于∝₃。即：两个或多个大数的和仍是一个大数。

（二）大数减法

两个大数的差可以是一个大数，也可以不是一个大数。

（三）大数乘法

∝_乖乘∝_镖等于∝₃。即：两个或多个大数的积仍是一个大数。低级大数的积可以得到高一级大数。

（四）大数除法和大数倒数

大数除法：两个大数的商可以是一个大数，也可以不是一个大数。可以定义大数倒数为“小数”，可以接近。。

（五）大数乘方开方

大数乘方开方可以是一个大数，也可以不是一个大数。

在高等数学中，规定：x为实数，当x>0时，x除以0等于正无穷;当x<0时，x除以0等于负无穷;当x=0时，x÷0无意义。

+∞与实数加、减、乘、除、乘方、开方运算，结果永远是+∞;-∞与实数加、减、乘、除、乘方、开方运算，结果永远是-∞。（0乘以±∞无意义）

四、智能的层级和大数据的运算

（一）大数群体的层级以及大数内部的层级

尤其在与高度复杂化的系统对应时，则会伴随着智能的产生。比如人脑智能的形成，以及社会人群对应的群体智能。智能的层级和智能管理（辐射）层级，从人脑解剖知识可知，人脑处理的信息，从分子层面到组织层面，再到神经系统层面。而管理则是现实世界在人脑中的映像管理，即人脑实现了对现实世界的宏观管理。

由此可见，人脑实现了微观到宏观的信息过渡和统一，这正是人脑智能的根源所在。

（二）大数据的运算

大数据的运算，尤其是互联网大数据运算，由此产生的“云计算”“云服务”。在现实社会和生活中的应用越来越深入和广泛。

五、大数理论

（一）大数定律

概率论史上的第一个极限定理，属于伯努利，后人称为“大数定律”。概率论中词论，随机变量序列的算术平均值，向随机变量各数学期望的算术平均值，收敛的定律。

大数定律有多个表现形式。高等数学中常用的三个重要定律：切比雪夫大数定理，伯努利大数定律和辛钦大数定律。

与“大数”相关的理论可以称为“大数论”。“大数论”包含了多方面的领域。

大数在趋向于无限的递增过程中，以及对应不同的实体特征，会产生不同的递增效应，由此提出四个大数原理——累计/累积原理、极限原理、层级原理、交叉原理。

（二）数字“大数”原理

1.累计原理

大数表现为统计L的累计结果，是某集合内部元素累计结果，数量大小的度量。

2.极限原理

大数Qc的极限是无穷大m，“小数”的极限是。。

3.层级原理

层级原理对应于大数的层级。

4.交叉原理

交叉原理对应于大数加减法等运算。

（三）大数对应实体原理

1.大数理论的累积原理

大数理论的累积原理是：大数对应的大量实体聚集或实体某项参数指标超幅度变化等，由此产生的大量累积效应。

哲学上讲的量变引起质变。而大数的量变是一种超量的变化，因此可以引起相应实体的实质性的、甚至是超常规的质变。“小数”则对应于实体的近乎无限分解，物质世界的近乎无限分解必然使宏观物质世界进入微观物质世界，量子效應就显现出来。

2.大数理论的极限原理

大数在某些实际效应中，会有一个极值点，形成了该实体的极限特征。“小数”在某些实际效应中，会有一个极值点，甚至可以成为极限0（该极限0往往是相对极限）。

（1）速度的上限是光速C，即30万公里/秒;速度在宏观上下限为0（宏观相对速度）。

（2）温度的上限是普朗克温度，1.417乘以10³²K（宇宙大爆炸第一瞬间温度）。下限是绝对零度OK（开尔文），即零下273.15摄氏度。

3.大数理论的层级原理

大数对应的实体内部以及多个大数的组合，可以形成系统，并与一定的层级相对应。尤其在与高度复杂化的系统对应时，则会伴随着智能的产生。

（1）大数内部的层级比如互联网可以由区域网络组成。

（2）大数群体的层级比如各星系系统构成的总星系。

（3）复杂的人脑系统就产生了智能。

4.大数理论的交叉原理

两个或多个大数的相互交叉会彼此增强或冲抵，即可能会产生一个大数，也可能产生一个小数。交叉原理可用大数加减法等来解释。

（1）交叉原理产生小数的一个例子，人眼观测太阳或月亮的大小。太阳或月亮的实际大小是大数，而两者与地球的距离也是大数，两者相互交叉，则是人眼观测到的视觉大小。

（2）“大数”在RSA加密方面的应用，RSA加密算法要用到足够大的素数，这样加密才能得到保障。

上述四个大数原理及其实体例子，也就是探讨了大数理论的一些实际应用。宏观宇宙的近乎无限以及微观物质的近乎无限可分，是大数普遍存在的物质基础和理论来源，现实世界以大数的模式存在、演化和发展。

六、“大数论”应用发展前景

大数据的运算，尤其是互联网大数据运算，由此产生的 “云计算”“云服务”，在现实社会和生活中的应用越来越深入和广泛。大数论在智能原理、极限分析、数据加密、信息统计分析等领域有着广泛的应用价值，值得更为深入的研究和发展。

参考文献：

[1][英]迈尔·舍恩伯格.大数据时代[M].杭州：浙江人民出版社，2013.

[2]主昌锐.大数论[M].台北：徐氏基金会，1970.

[3]主金荣，陈勤，丁宏.大数模乘算法的分析与研究[J].计算机工程与应用，2004（24）.