让回顾反思成为教学常态

夏炳文

摘要数学教学离不开解题教学，通过对解题之后的回顾反思，不仅可对解题过程有较全面的认识，还可以使理解进入深层结构并起到触类旁通的效果，真正实现做一道题，通一类题，变多道题，从而提高解题教学的有效性.

关键词解题理论；解题分析；回顾反思

美国数学家G·波利亚说：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”[1]， 他在《怎样解题》中将解决问题时思维的自然阶段分成四个阶段——弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾反思，并重点强调了回顾反思是最容易被忽略的，却是最重要的， 所以将其作为解题的必要环节而固定下来.解题应有两个方面的反思，一是解题层面的回顾反思，二是学会解题层面的回顾反思，反思解题过程是否严谨？反思解题方法是否可以优化？反思题目是否可以推广和变式？等等.

在目前的解题教学中，很多老师和学生为了解题而解题，大搞题海战术，试图通过穷尽题型而达到熟能生巧，不重视解题后的回顾反思，从而降低了解题教学的有效性，学生到下次解题时又重复“昨天的故事”，所以笔者认为让回顾反思成为教学常态，从反思中培养正确的数学思维方式和数学能力才是提高解题教学有效性的重要途径.现举例一则，以飨读者.

题目已知抛物线C：y=x2，直线l：x+y+1=0，设P为直线l上的一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA和PB，其中A，B为切点.证明直线AB过定点.

这是笔者在进行解析几何教学时选择的一个例题，在波利亚的解题理论指导下，引导学生先弄清问题，然后拟定计划，最后实现计划如下：

则直线AB的方程为y=x0ax+AaB+CB，即直线AB过定点-AaB，CB.

结论1已知抛物线C：x2=2ay（a≠0），直线l：Ax+By+C=0（B≠0），

点P在直线l上，过点P作抛物线C的两条切线PA和PB，其中A，B为切点，则

直线AB过定点-AaB，CB.

反思4 此结论以抛物线为载体，如果载体换成椭圆或双曲线，是否也有相应的结论呢？

探究已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），直线l：Ax+By+C=0（C≠0），点P在直线l上，过点P作椭圆C的两条切线PA和PB，其中A，B为切点，则直线AB是否过定点？若过定点，定点坐标是什么？

解设P（x0，y0），由解法3知直线AB的方程为x0xa2+y0yb2=1，又因为P点在直线l上，所以Ax0+By0+C=0，

当B=0时，x0=-CA，此时直线AB的方程为-CAa2x+y0b2y=1，即直线AB过定点-a2AC，0，

当B≠0时，y0=-Ax0+CB，此时直线AB的方程为x0xa2-AyBb2=CyBb2+1，即

直线AB过定点-a2AC，-b2BC.

综上知直线AB过定点-a2AC，-b2BC.

结论2已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），直线l：Ax+By+C=0（C≠0），

点P在直线l上，过点P作双曲线的两条切线PA和PB，其中A，B为切点，则直线AB过定点-a2AC，-b2BC.

同理还可以得到双曲线中也有类似的结论.

结论3已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a，b>0），直线l：Ax+By+C=0（C≠0），点P在直线l上，过点P作双曲线C的两条切线PA和PB，其中A，B为切点，则直

线AB过定点-a2AC，b2BC.（证明过程略）

反思5 如果把题目的条件和结论互换，是否也成立？

探究 已知抛物线C：x2=2ay（a≠0），过定点（m，n）的动直线l与抛物线C

相交于A、B，过点A、B分别作抛物线C的切线，两条切线的交点为M，则点M的

轨迹是不是直线？若是，轨迹方程是什么？.

解设M（x0，y0），由反思3知直线l的方程为x0ax-y=y0，因为l过定点（m，n），所以x0am-n=y0，即点M的轨迹是直线，且方程为mx-ay-an=0.

结论4已知抛物线C：x2=2ay（a≠0），过定点（m，n）的动直线l与抛物线C

相交于A、B，过点A、B分别作抛物线C的切线，两条切线的交点为M，则点M的轨迹方程是mx-ay-an=0.

同理还可以得到椭圆和双曲线也有类似的结论.

结论5已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），过定点（m，n）（m，n不全为0）的动直线l与椭圆C相交于A、B，过点A、B分别作椭圆C的切线，两条切线的交点为M，则点M的轨迹方程为mxa2+nyb2=1.（证明过程略）

结论6已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a，b>0），过定点（m，n）（m，n不全为0）的动直线l与双曲线C相交于A、B，过点A、B分别作双曲线C的切线，两条切线的交点为M，则点M的轨迹方程为mxa2-nyb2=1.（证明过程略）

笔者在最近几年高考试题中发现类似的题目，具体链接如下：

1.（2013年高考数学辽宁卷理科第20题）如图，

抛物线C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p>0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，

过M作C1的切线，切点为A、B （M为原点O时， A、B重合于O），切线MA的斜率为-12，x0=1-[KF（]2[KF）].

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O，中点为O）.

2.（2013年高考数学广东卷理科第20题）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c>0）到直線l：x-y-2=0的距离为322，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA和PB，其中A，B为切点.

（Ⅰ） 求抛物线C的方程；

（Ⅱ） 当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；

（Ⅲ） 当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值.

3.（2014年高考数学广东卷理科第20题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个焦点为5，0，离心率为53.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

数学教学离不开解题教学，在解题教学中，教师不能只展示解答过程，要引导学生对解题过程进行自觉的反思，反思不仅可对解题过程有较全面的认识，还可以使理解进入深层结构并起到触类旁通的效果，真正实现做一道题，通一类题，变多道题，从而提高解题教学的有效性，同时教师只有在反思中不断提高自身的学科素养，才可以促进学生不断成长，因为“教师的深度决定了学生的高度”，让回顾反思成为教学常态！

参考文献

[1] G·波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天译.上海：上海科技教育出版社，2007.