数学教学的思维特征

蒋文彬

【摘要】数学活动的本质是思维，要为思维而教.数学教学是思维活动的教学，是锻炼和发展人的多种思维能力的“智力体操”， 数学教学要充分暴露思维过程，学习数学更多的需要“思而知之”.

【关键词】数学思维；思维方法；思维活动；暴露思维过程；思维能力；抽象思维；形象思维

数学是研究现实世界中空间形式和数量关系的科学.学习数学，离不开思维，可以说数学的本质特性就是思维.数学概念的引入，定理的发现，规律的探求等诸多认识活动的过程中，是什么促使你能一步一步向前走，又是什么使你的智慧逐步提升？那就是数学思维的作用.通过什么途径与方法将现实问题转化为数学问题，再用数学方法解决这些实际问题，数学家做了大量的探索和研究.他们借助于试验、分析、抽象和概括等思维方法形成了一套较为完整的数学理论体系，这套理论体系的形成就是通过数学思维来实现的.那么，数学教学的思维特征是什么呢？张乃达先生认为：数学思维就是以现实的数学问题为研究对象，通过发现问题、解决问题的形式，达到对现实世界空间形式和数量关系的本质的一般性的认识的思维过程.

多年的教学实践与思考告诉我们：数学教学是数学活动的教学，数学活动的教学是在数学领域内思维活动的教学，充分暴露思维过程是数学教学的核心原则，要为思维而教.数学教学要重视智力因素的核心——思维能力的作用，不断提高学生的智力水平，充分挖掘学生的数学学习潜能；要重视非智力因素的动力、定向、维持、调节、控制和强化作用，要努力帮助学生树立远大的理想、浓厚的兴趣、顽强的意志、丰富的情感和刚毅的性格，以激发学生为数学拼搏的豪情.除使学生掌握数学知识外，主要是为了让学生变得智慧，变得坚毅.数学教学主要应激发学生思考的潜能，使学生想思考，会思考，善思考，会“数学的思维”.数学教学应使学生接受数学精神、思想和数学方法的薰陶，提高思维能力，锻炼意志品质，并把它们迁移到学习、工作和生活的各个领域中去.前苏联数学教育家斯托利亚尔在《数学教育学》中指出：“数学教学是数学活动（思维活动）的教学.”而不仅是数学知识（数学结果）的教学.现代教学论则认为，数学教学的任务应该是形成和发展具有思维特点的智力活动结构.

1数学是人类思维高原上开出的灿烂花朵

“千姿百态的几何图形，变幻无穷的数的世界，却能被为数极少的几条公理所穷竭；成千上百条定理、公式在它的基础上令人信服地展现在眼前，怎能不叫人惊奇；看起来完全不同的对象却有着本质上的一致；无关的事物之间有着深刻的联系；复杂、多变、形态各异的式子、图形存在着不变的规律和简捷的结果.”（引自《数学学习论》李玉琪）

搜索枯肠，绞尽脑汁，千转百回……蓦然，灵犀一点、心气一缕，神光一闪……“众里寻她千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处！”这不是数学思维中的一种常见意境吗？

1.1数学活动的教学是在数学领域内思维活动的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学.这里所说的数学活动是按照下列3个阶段进行的思维活动.

①经验材料的数学组织化.即借助观察、试验、归纳、类比、概括积累事实材料.

②数学材料的逻辑组织化.即由积累的材料中抽象出原始的概念和公理体系，并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论.

③数学理论的应用.数学教学不仅教给学生已发现的现成的数学理论，更重要的还要教给学生如何进行数学活动.要教给学生如何像数学家那样去活动，那样去思维.

辛格（V·Singh）认为的数学的效用主要是“发展思维功能和掌握复杂情况的能力”[1].

卡米查尔（R.Carmichael）说：“数学是一个思想领域，它为我们提供了有关清晰、精确思维的必要和明确的知识”[1].冯·诺意曼（V.Neuman）更称“数学处于人类智能的中心领域”[2].由于思想是人类智慧的核心，这就肯定了数学在培养人的思维方面，具有其它学科无法替代的功能.

更确切地说，数学教学（或学习）才是锻炼和发展人的多种思维能力的“智力体操”.

1.2数学是培养抽象思维和逻辑推理能力的传统学科.

这一点在欧氏几何中体现的尤为突出.丁石孙先生在《数学与教育》一书中进行过精辟的分析：“有时面对一个几何证明题，乍看似乎结论明显成立，但要证明它却不得不费一番分析，在这种情况下，人的耐心受到很好的训练；有时，面对一个看来结论简直不能成立的命题，通过引几条巧妙的辅助线，可以很快解决问题.巧妙地借用其他手段，解决复杂问题，人类不就是这样生存的吗？欧氏几何还能训练人的敏锐的洞察力[3]……

1.3数学又具有开发非逻辑思维与合情推理的功能.这是随着思维科学、心理学与数学教育研究与实践的不断发展，而为人们所逐渐认识的.逻辑推理固然是数学论证必不可少的的关键步骤，但数学上的发现和创新一刻也离不开观察、实验、类比、联想、不完全归纳、猜测、想象、直觉等“合情推理”.由于在当前的数学教学中，右半脑的功能还常常受到压抑，并表现为想象力贫乏，不善于灵活运用数学知识，缺乏探索性和创新性……一言蔽之，缺乏形象思维能力.一代大师钱学森建议“把形象思维作为思维科学的突破口”.徐利治先生更认为，对数学和右脑思维的研究“有可能使数学研究和数学教育获得新的动力”[4].因此对非逻辑思维的训练，应受到更多的重视.我们为什么不也来闯闯这个新天地呢？

1.4数学还发展出许多特有的思维方法和技巧.

通过数学教学方法论的桥梁，能转化为一般的思维方法.这方面的实例，可参阅文[1]，相信读者从中得到有益的启迪.

有人认为，通过数学教学（学习）可以基本涉及人类思维的各个侧面，这是有一定道理的，事实上，作為一个更完整的认识，数学的教育功能还不仅仅是“训练思维的体操”.至少我们还应看到：数学在培养、提高人的文化素质（思维品质）也有它独到的功效.数学思维是数学乃至科学技术中的美丽花朵，只要我们用心去领悟它，运用它，一定会结出丰硕的果实.

了解数学思维，做一个明白的人；

懂得数学思维，做一个聪明的人；

掌握数学思维，做一个具有创新能力的人.

2数学思维是一种高层次文化现象

“数学教学不仅是数字、符号、公式，而且还有浸润其中的数学文化.只有把抽象的、逻辑的、严谨的数学，即冰冷的数学，转化为生动的、人文的、思考的数学，即火热的数学文化，数学课堂才是人才陶冶的炉膛.”张奠宙先生的这段话生动地说出了“数学可以塑造人的灵魂”的道理.

中科院院士王梓坤教授撰写的《今日数学及其应用》一文.总结了数学在四个方面的巨大作用，其中一条就是“对全体人民的科学思维与文化素质的哺育”[5]“数学文化具有比数学知识体系更为丰富和深邃的文化内涵.数学文化对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括”[6].也就是说，数学教学不仅是为了获取知识，更主要的是接受数学精神、思想和数学方法的薰陶，提高思维能力，锻炼意志品质，并把它们迁移出去.

数学教学要开发学生潜能，当从数学文化开始.“数学文化就是要‘文而化之”.这是张奠宙、赵小平先生发表在《数学教学》2007年第4期上的文章的题目.原文如下：

[JZ]数学文化就是要‘文而化之[HTSS]

近来，于丹的《论语心得》大火特火.十博士联名发起攻击，措辞激烈，不过大多数群众还是喜欢于丹.这使我们联想到数学.数学如同国学，也有其象牙塔部分，学术性很强，外人很难弄懂.即使是中小学校里的数学，也不大招人喜欢.我们的数学教育为什么非要板着面孔讲数学呢？数学文化的教学，能否也能够大众化一些，使得一部分的数学，也如“心灵鸡汤”那样可口呢？

所谓文化，按照于丹的说法，“文化是一个流动、生长的形态，重要的是‘文而化之，进入人的内心世界”（2007年3月19日《文汇报》第四版）数学文化何尝不是如此？

数学是人创造的，必然打上社会的烙印.数学是人们观察世界的一种立场、观点和方法，具有很强的人文特征.在形式化了的数学背后，有生动活泼的思维过程、朴素无华的思想方法乃至引人深思的人生故事.

教育形态的“大众数学”，应该区别于具有学术形态的“形式化数学”.数学教学“既要讲推理，更要讲道理”.这些道理包括数学文化底蕴.举一个例子.平面几何课程里有“对顶角相等”，这是一眼就可以看出其正确性的命题.教学目的，主要不是为了掌握这一事实本身，关键在于：为什么希腊人要证明这样显然正确的命题？为什么中国古代算学没有“对顶角相等”的定理？理性思维的价值在哪里？如能联系古希腊的奴隶主和民主政治加以剖析，则可以感到其中更深刻的文化韵味.反之，如果依样画葫芦，只是“因为、所以”地在黑板上把教材上的证明重抄一遍，那就是“文而不化”，没有文化味了.

学学于丹，让我们把数学也“文而化之”，使之进入人们的内心世界.让孩子们喜欢数学、亲近数学、欣赏数学.[HTSS]

3数学教学可以教人聪明

“聪明”似乎是一个易于领会而难以言传的概念.汉语词典对“聪明”的解释：智力发达，记忆和理解能力强.这是人们可以接受但又不会完全认同的.但无论如何，聪明与思维品质是联系在一起的.细心的观察、深入的思考、良好的记忆、丰富的想象、准确的判断、灵活的应变……，这些优秀的品质无一不与思维有关、不与文化素养有关.从这个意义上看，数学即能锻炼思维，又可以提高人的文化修养.因此把它称为“教人聪明的学问”是十分形象与恰当的.

我们这里所说“数学是一门教人聪明的学问”，这个教，并不专指教师在课堂上的教，更重要的是学习者自己的思考和领悟，这正如培根所说：“学问本身不教人如何用它们，这种动用之道乃是学问之外，学问以上的一种智能，是由观察体会才能得到的”.

数学教学活动是充分暴露数学思维活动的过程.尽管数学知识是思维的结果，但学得这些知识却不是对思维结果的简单接收，学习者必须把新知识消化、吸收、纳入自己的知识系统.数学知识不可能像语文那样随着社会阅历的增长而增长，学习数学必须具备“数学头脑”即会用“数学思维”思考问题，把新知识转化为自己的思维结果.如果说文科知识可以读而知之的话，那么，数学知识更多地需要“思而知之.”[7]

数学思维之所以呈现以上特征有赖数学思维的以下特点：3.1抽象性

在数学研究中，数学家往往抛弃研究对象的特性，只保留事物的数量关系和空间形式.如数学中点是没有大小的，线是没有粗细的，即这些点、线不同于现实中的点、线，而是一种抽象的“事物”.又如集合A={x|p}、函数y=f（x），它们不是指具体意义的集合、函数，而是指一般抽象之后的集合、函数.这些例子说明，在数学思维过程中，舍去了思维对象非本质的属性，而是抽取出具有一般意义的数学量来研究的.可见，抽象之后的数学内容具有高度的概括性，深化了对事物的本质和规律的认识.3.2严密性

表现为数学思维过程中逻辑性和精确性.数学思维是按照一定的形式和方法进行的，它的理论是按照严格的逻辑推得的.如几何的推理过程要求步步有理，言必有据.此外，数学思维要求定量把握事物间的量的关系，要求具有一定的精确性.爱因斯坦曾这样描述数学：“为什么数学比其他一切科学受到特殊的尊重，一个理由是，它的命题是绝对可靠和无可争辩的.”可以这样讲，没有数学的科学是不可靠和不完善的.

3.3探索性与创造性

数学来源于实际问题，同时又用来解决这些实际问题.数学思维总是围绕解决某一问题而展开，如数学概念的建立，一个定理的推证，一种新的算法的形成都是通过数学思维寻找、探索其解决问题的方法来实现的.因此，数学思维就被赋予探索的性质.探索的结果，必然有新的联系的产生，新的规律的出现，这就是创新的结果，潜能开发必在其中.3.4统一性

统一性是指数学思维有本质上的一致性.许多数学知识，表面上看没有明确的联系，

但通过深入的分析和研究，发现它们是有一定的内在联系性的.如数与形之间的联系，数与数之间的联系，形与形之间的联系，可以从不同的角度作不同层次的抽象，经过一定层次的抽象之后，往往经历（或产生）相同或相似于其它已有的数学模式，然后用已有的模式及方法解决问题.

因此，可以说数学从它的内容、方法、工具到结论都是抽象的，都伴随着思维活动.离开了思维，数学教学活动将无法进行.

数学思维活动包括宏观和微观两个方面，宏观上，数学思维乃是生动活泼的策略创造，其中包括直觉归纳、类比联想、观念更新、顿悟、技巧等许多方面；微观上，要求数学思维步步为营，言必有据，进行严谨的逻辑演绎.这两方面的有机结合，才是数学思维的特征[8].

综上所述：数学教学活动是思维活动的教学.

参考文献

[1]王庆人译.数学家谈数学本质[M].北京：北京大學出版社，1989年.

[2]丁石孙等.数学与教育[M].长沙：湖南教育出版社， 1989年.

[3]查有梁等.数学智慧的横向渗透[M].成都：四川教育出版社， 1990年.

[4]伊晓. 形象思维、数学、数学教学[J].数学教育学报，1993（2）.

[5]中国科学院数学物理学部.今日数学及应用[J].自然辩证法研究，1994（1）.

[6]黄泰安.略论数学教育的文化背景[J].数学教育学报，1995（6）.

[7]郭思乐.思维与数学文化[M].北京：人民教育出版社，1991年.

[8]张奠宙等.数学教育学[M].南京：江苏教育出版社，1991年.