解后反思明结构，变式改编重反馈——2016年中考天津卷第25题思路突破与教学思考

☉江苏省海安县李堡镇初级中学居红兰

解后反思明结构，变式改编重反馈
——2016年中考天津卷第25题思路突破与教学思考

☉江苏省海安县李堡镇初级中学居红兰

近一段时间，《中学数学》（下）关于中考压轴题的研究文章中，有好几篇涉及抛物线准线、焦点的性质，虽然考题没有明确提出相关概念，但是如果熟悉抛物线准线、焦点性质，则往往能够快速贯通思路，洞察问题结构.笔者在研习各地中考试卷题后，发现2016年天津中考数学试题最后一道压轴题也蕴含了准线、焦点性质.本文先梳理该题的解题思路，并给出教学思考和变式改编，供研讨.

一、考题及思路突破

考题（2016年中考天津，第25题）已知抛物线C：y= x2-2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点

（1）求点P、Q的坐标.

（2）将抛物线C向上平移得抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′=OQ′.

①求抛物线C′的解析式；

②由于点A在抛物线C′上，可设点A的坐标为若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标.

思路突破：

（1）根据抛物线与y轴交点坐标的特点，可以直接写出点Q（0，1），本质上就是令x=0，求出抛物线与y轴的交点.再把抛物线解析式化为顶点式，y=x2-2x+1=（x-1）2，即顶点P（1，0）.

（2）①设平移后的抛物线C′的解析式为y=x2-2x+m，可得Q′（0，m），其中m＞1，即OQ′=m，结合过F作 FH⊥OQ′，垂足为H，如图1.

图1

图2

易得AN=yA-yN，其中yA＞n，连接FP.结合P（1，0），所以FP⊥x轴，所以FP∥AN，则∠ANF=∠PFN.连接PK，则直线Q′F是线段PK的垂直平分线.则∠PFN=∠AFN，所以∠ANF=∠AFN，则AF=AN.

二、解后反思

上面着重解析了考题的思路，以下再就该题一些易

错点及问题的深层结构进行解后反思.

1.构图不准导致思路受阻

无图问题构图不准，需要不断调整草图构造，使得精准图形启发思路，比如笔者开展解题教学时，就有学生构造出如下一些严重不准的草图（如图3和图4），导致思路受阻不能进展.

图3

图4

在图3中，由于Q′F与Q′O严重不等，影响思路；图4中，点N的位置与落在x轴上的点N位置相去甚远，影响了求解方向的获得，使得不少学生解题念头缺少，方向不明，从而不能顺利解题.

2.洞察考题的深层结构：抛物线准线、焦点蕴藏“题”中

有高中抛物线准线、焦点知识储备（抛物线上的点到准线和焦点距离相等）的人应该知道，该题中第2条抛物线C′的准线、焦点都出现了，即点F为该抛物线的焦点，x轴恰为该抛物线的准线.因为考题通过一系列的包装，使得准线与焦点躲藏得很深、很隐蔽.从抛物线准线、焦点的高度再“居高临下”看第（2）问的两个小问，就能发现它们都是基于高观点包装起来的考题.我们可把图2简化为图5，这样更容易看清这条抛物线的准线与焦点的性质，点A只要在抛物线上，一定有AF=AN.这也就看清了我们在上面花费很多精力探究出N点落在x轴上的原因.也说明数学上很多偶然或巧合，背后往往有其必然.

图5

三、教学思考

1.无图考题细思考，精心构图获方向

研究各地中考试题总会有这样的体会，如果考题涉及函数图像或是以函数图像为载体的综合题，又涉及几何性质中，无图考题不是很多，但很多时候这类考题一旦“上场”，威力、杀伤力极大.主要原因就是学生的构图能力，根据题意明辨题目中的条件与结论的能力还有待提升.这里不妨提及民国时期傅仲孙先生自编的“平面几何教本”，内中占比70%以上的无图几何题，不仅重视欧氏几何公理体系、演绎证明的教学，对根据几何语言学生能画出的图形，都要求画图、作图后再求解.而对比当下的各种版本的几何教材，那种对学生的“关爱”之心，演变成了图形都帮助学生画好了，只要在图形上分析、演算或证明即可，说得极端一点，长此以往，孩子们的几何素养却会因为“我爱你，所以帮助你画好图”而走下坡路.

2.解后反思高观点，洞察结构善积累

罗增儒教授反复指出，解题教学如果缺少解后反思环节，则是“入宝山而空返”.反思阶段除了对问题开展必要的一题多解、殊途同归的探究，还需要站到高观点思考多种解法的合理性、一致性、和谐性，特别是站在阶段“制高点”全局性地分析问题的深层结构.如天津考题的结构是抛物线的准线与焦点的问题，如果一眼洞察问题结构，则接下来的很多分析都是水道渠成、自然而然的.根据教学经验，一些优秀学生解题能力之所以快而准，根本原因还是在于他们积累的数学经验、基本图形及其性质比其他同学要多得多.

3.教学预设重互动，追问生成靠对话

选用这类较难考题开展解题时，追求所谓的“一题一课”是很有意义的.《中学数学》（初中版）最近两年有大量的“一题一课”课例，读来深受教益.这些课例匠心独运的设计，使得这些课例文章可以成为我们备课的素材，有些甚至都可直接做成PPT加以选用.特别是，这些课例有一个重要特点：在预设师生活动时，十分重视预设学生为主体、教师为主导的互动式问题，使得学生在对话中“生成”很多新的观点或思想.

四、变式改编

作为本文的结束，本着命题研究的兴趣，对天津考题给出一道变式改编题，供分享，也可作为讲评天津考题之后的效果检测.

变式改编：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y= -x2+2x-1的顶点为P，与y轴的交点为Q，定点

（1）连接FQ，求tan∠FQO的值.

（2）将抛物线y=-x2+2x-1向下平移得到一条新抛物线，设点Q平移后的对应点为Q′，且点Q′到定点F的距离等于点Q′到x轴的距离.

①求Q′的坐标；

②若点P关于直线Q′F的对称点为M，射线FM与新抛物线相交于点A，求点AF的长.

1.郑毓信.多元表征与概念教学［J］.小学数学教育，2011（10）.

2.钟启泉.读懂课堂［M］.上海：华东师范大学出版社，2015.

3.鲍建生，顾泠沅，等.变式教学研究［J］.数学教学，2003（1，2，3）.

4.郑毓信.善于提问［J］.人民教育，2008（19）.Z