抓住“数学现实”本质，促进知识自然生成——图形的旋转（1）教学与反思

☉江苏省海安县城南实验中学顾为云

抓住“数学现实”本质，促进知识自然生成
——图形的旋转（1）教学与反思

☉江苏省海安县城南实验中学顾为云

近期拜读了人民教育出版社中学数学室章建跃教授刊登在《中学数学教学参考》2014（4）上的一篇题目为《如何实现“思维的教学”——以“平面图形的旋转”的教学为例》的文章，受益匪浅.正好学校举行的赛课比赛的自选课题中有图形的旋转这一课，笔者有幸选择了这一课题，以下是该课的教学流程与教后反思，整理出来提供研讨.

一、教学流程

活动一：旋转的概念

（1）出示一组图片（图1~图3），说说分别属于图形的什么变换？

图1

图2

图3

预设意图：平移、轴对称、旋转是三种常见的全等变换，虽然教材放在不同的章节去学习，但它们是一脉相承的，初步比较的同时也为后续的类比教学做好铺垫.

（2）探究：

①把钟面上的分针旋转90°，得到的结果怎样？

②钟面上的分针顺时针旋转，旋转的结果有多少种？

③线段AB绕点A和点B顺时针旋转90°，得到的结果一样吗？

④给定怎样的条件才能使旋转后的图形唯一确定？

预设意图：让学生经历概念本质特征的概括过程，学生才有机会通过自己的观察和思考从具体事例中抽象出概念的本质，才能真正理解掌握概念.通过以上探究活动让学生体会到三要素缺少任何一个旋转都不能唯一确定，从而理解“图形的旋转”概念的内涵.

活动二：旋转的性质

（1）回顾我们之前学习的平移变换和轴对称变换（图4、图5）.

图4

图5

预设意图：复习图形的平移和轴对称的性质，让学生明确平移的性质离不开平移的方向，轴对称的性质离不开对称轴；另一方面，讨论平移和轴对称的性质时首先要让学生知道“性质就是变化中的不变性”，然后从宏观和微观两方面得出性质，整个图形的形状、大小不变，所以两个图形全等，以及对应点、对应线段、对应角的不变性.只有这样深入地理解了性质的本质，学生才能很好地迁移到旋转性质的学习中来，学生对旋转性质的发现才能水到渠成，这种迁移才是有效的，而不是形式化.

（2）旋转的性质.

图6

图7

图8

学生在图6中添加线段（如图7），并通过独立思考、小组交流发现性质，教师追问如何找出点P、Q（如图8）

的对应点.

预设意图：这个环节的设置没有运用课本上直接抛出问题的方法，性质的得到让学生通过自己动手操作、发现，然后小组合作交流，互相纠正学习，最后老师根据学生的回答，及时设置追问，使得发现的性质进一步完整规范，以上过程充分体现学生的主体地位，只有通过自己探究发现的知识，才能更好地理解并掌握.

活动三：画出旋转后的图形

图9

例题讲解.

例题如图9，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.

让学生自己先尝试画图，发现大多数同学都已经能够画出旋转后的图形，教师投影学生所画的图形并让学生回答画图的过程和依据.进一步要求学生画出把△ADE逆时针旋转90°后得到的图形.

预设意图：鼓励学生用不同的方法画图，进一步训练性质运用的灵活性.

活动四：小结和作业

（1）通过本节课的学习，你有哪些收获？

不仅总结本节课所学的知识，而且把平移、轴对称、旋转作为一个整体进行总结.

（2）作业布置：略.

附：板书设计，如图10.

图10

二、精彩生成

1.概念教学对话片断

对于问题（1），教师拿出一个可以方便调整时间的时钟让学生演示.

生1演示：把时钟的分针逆时针方向旋转90°.

生2：也可以顺时针旋转90°.

师：两种旋转的结果不同，为什么？

生：方向不同，可以顺时针也可以逆时针.

对于问题（2）.

生：有很多种结果，因为没有具体规定转动的度数.

对于问题（3）.

师：时钟的指针可以抽象的看成一条线段（拿出一根木条并在黑板上画出一条相同长度的线段AB），找一位同学来演示一下问题（3）的旋转过程.

生把木条放在黑板上演示.

师：有什么发现？

生：绕点A和点B分别旋转木条，旋转的结果不同.

师提问问题（4）.

生：旋转需要明确绕着哪个点旋转、旋转的方向及旋转的度数.

师：绕着那个点叫作旋转中心.（板书旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转的度数）

师：还请刚才那位同学说说看，什么叫作图形的旋转.

生：把一个图形绕着一个点，向某一方向转动一定的度数，叫作图形的旋转.

师：非常完整.（板书课本定义：一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫作图形的旋转）

这里的转动一个角度就包括着旋转方向和度数两方面，我们刚才这位同学比课本说得更具体.

2.性质教学对话片断

师：学习了旋转的相关概念后，接下来我们该学习什么呢？

生：旋转的性质.

师：好的，在讨论性质之前我们先一起回顾一下平移变换和轴对称变换的性质.说说图形的平移具有哪些性质？

生：对应点的连线平行且相等，平行前后的两个图形全等.

师：对应点的连线也有可能共线，在图7中具体表现为？

生：AA′=BB′=CC′，AA′∥BB′∥CC′，△ABC≌△A′B′C′.

师追问：AA′，BB′，CC′的长度表示什么？AA′，BB′，CC′为什么会平行呢？与平移的方向有关吗？

生：AA′，BB′，CC′的长度是平移的距离，对应点连

线的方向就是平移的方向.

师：图形平移的时候，图形的位置发生了变化，哪些东西没有变呢？

生1：图形的形状与大小.

生2：对应点的相对位置没有变化.

生3：不管怎样平移，对应点的连线始终都相等且平行（共线）.

师：同学们回答得真棒！其实我们研究一个对象的性质就是讨论其变化中的不变性.

师：轴对称具有哪些性质呢？

生：对应点的连线段被对称轴垂直平分.

师：讨论轴对称离不开什么？

生：对称轴.

师：那旋转又有哪些性质呢？板书中的问号处应该填写什么内容呢？

生：旋转中心.

……

三、教学反思

1.辨识学段特征，找准教学用力点

学生在小学阶段已经学习了图形的变换的相关知识，学生已经能够结合具体实例感知身边的平移、旋转和对称现象；会在方格纸上画出一个简单图形沿水平、垂直方向平移后的图形或关于某条直线对称的图形；能在方格纸上画出一个简单图形绕图形上的某个顶点旋转90°或180°后的图形；能灵活应用平移、旋转和对称知识在方格纸上设计图案，在图案的欣赏和设计活动中，感受图形世界的神奇与精彩现象.初中阶段继续学习图形的变换并不是小学知识的再现，教师要正确辨别学段特征，正确把握课堂教学的用力点应用在何处，避免在学生已经掌握的知识上花费大量时间而偏离教学重点.小学的学习侧重于实例操作，需要展示，但不能过分停留，而且再现旧知也是为了引入新知的学习，初中学段“图形的旋转”的内容结构是：概念和性质—特例（性质）—应用（数学内部、实际问题）.

2.重视“数学现实”，引导发现旋转本质

学生在七年级和八年级分别学习了图形的平移和轴对称变换，已经知道初中阶段研究图形的变换需要研究哪些内容及研究方法，教师要充分运用好这一“数学现实”，以此为情境贯穿于教学过程中，对于重点知识的学习和难点的突破有很大的帮助.回想自己以往在上这一课题时也都先让学生复习平移和轴对称变换的相关知识，但只是为了复习而复习，对于旋转概念和性质的学习没有起到正面的迁移作用，仔细反思，发现主要有两方面的原因，一是没有真正理解平移、轴对称、旋转三种全等变换的内在联系，二是没有创新地运用课本情境导致学生被动地接受知识.本节课笔者在旋转的性质教学环节中让学生知道“性质就是变化中的不变性”，在学生说出平移和轴对称的性质时引导学生体会图形变换的性质就是研究对应元素的不变性，并提醒学生关注性质与“平移方向”、“对称轴”的关系.有了以上铺垫学生在发现旋转的性质时就水到渠成了.接下来笔者先出示图9，学生通过抓住关键词“旋转中心”自己画出旋转中心和对应点的连线，没有像课本上直接给出了旋转中心与对应点的连线，学生能够通过独立思考和交流说出相关性质，甚至比课本上说得更详尽.通过以上学习过程在培养学生观察发现和探究归纳的能力上有较大的促进作用.课本上在提出性质设置的情境中问题太明确，几乎“捅破了窗户纸”，没有真正让学生自己探究发现，也就失去了这个内容的思维教育价值.

3.追求前后连贯，让知识自然生长

平移、轴对称变换的学习成为本节课知识的生长点，课堂上充分发掘运用既方便于旋转概念性质的学习，又能更好地帮助学生把旋转的知识组合到已有的认知结构中去，从而使得前后知识相连贯，实现知识的建构.在活动三的练习环节中，学生完成在网格画图后进一步抛出建立直角坐标系写点的坐标的问题，看似与本课内容关联不大，其实是接下来学生学习中心对称和关于原点对称的点的坐标提供的新的生长点.

1.章建跃.如何实现“思维的教学”——以“平面图形的旋转”的教学为例［J］.中学数学教学参考（中），2014（4）.

2.郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”［J］.数学教育学报，2016（3）.

3.章建跃.创新推动改革，全面提高教育质量——暨“第九届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动”总结［J］.中国数学教育（初中），2016（4）.H