也谈如何“用教材教”——以九年级“弧、弦、圆心角”教学为例

☉江苏省如东县马塘镇邱陞中学王亚东

也谈如何“用教材教”
——以九年级“弧、弦、圆心角”教学为例

☉江苏省如东县马塘镇邱陞中学王亚东

我们知道华东师大钟启泉教授曾指出新旧教学的分水岭是“从教教材”走向“用教材教”（详见文1）.南京大学哲学系郑毓信教授最近基于小学数学教学的角度更有针对性地解说了“用教材教，用好教材”.比如郑教授在开篇提出了“用好教材”的具体含义或主要标准是什么？并从教材编写说起，思辨了其与教师教学之间的关系，比如与课堂教学相比，教材编写更为宏观，而教师教学更为微观；教材编写主要集中于数学知识层面，而教师教学需要考虑思维训练和文化熏陶；教材编写兼顾大众，教师教学需要更大的针对性和灵活性；教材与学生有较大距离，教师教学可以发挥“中介”作用.这些更为具体的“用教材教”的意见对于我们实践提供了指导，本文将以九年级“弧、弦、圆心角”教学为例，阐释如何“用教材教”.

一、教学简案

教学环节一：开课阶段，从中心对称性质说起

问题1：什么叫中心对称图形？圆是中心对称图形吗？对称中心在哪？

预设追问：若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转过后的图形能与原图形重合吗？

问题2：（阅读课本，自学圆心角的概念之后）思考在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系.

预设：板书弧、弦、圆心角之间的关系，并整理几何语言进行PPT呈现，安排学生填空：

如图1，AB、CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.

（1）如果AB=CD，那么_______，_________________.

图1

（3）如果∠AOB=∠COD，那么_______，__________.

预设追问：如果OE=OF，那么你还能得出哪些结论？

设计意图：教材上删减了弦心距与弧、弦、圆心角之间的关系，只是在后面习题中提及，这里作为成果的扩大，有必要为学生整理出来，完善定理的认知.

教学环节二：题组练习，辨析概念

问题3：判断命题的真假，并说明理由：

（1）等弦所对的弧相等.（）

（2）等弧所对的弦相等.（）

（3）圆心角相等，所对的弦和弧一定相等.（）

（4）弧相等，所对的圆心角相等.（）

设计意图：通过一组概念辨析的习题，巩固新学概念和性质定理.再跟进一组类似的习题训练，限于篇幅，这里略去.

问题4：如图2，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥ AB，DN⊥AB.求证

图2

设计意图：该题证明较多，这里主要是训练学生连接OC，OD，将问题转化为圆心角相等推出弧相等的思路.为了训练这种辅助线及证明思路，继续跟进两道类似的习题.

同类练习1：如图3，AB是⊙O直径，AC、AD是弦，且AB平分∠CAD.求证：AC=AD.

图3

图4

同类练习2：如图4，C，D为半圆上的两个三等分点，则下列说法

其中正确的是________.（填序号）并说出理由.

教学环节三：例题讲评，深化理解

∠AOB=∠BOC=∠AOC.

设计意图：该题原自教材，可以引导学生证明△ABC是等边三角形，从而根据三条弦AB，BC，AC之间的相等直接推出结论.并在证明之后引导学生反思证明路径，体会新定理带来的证明便捷.考虑到等边三角形与圆结合的证明题很多，以下跟进列举一些，提供学生巩固练习：

图5

图6

跟进练习：如图6，△ABC是等边三角形，以边BC为直径作⊙O交AB，AC于点D，E.

（2）小南认为，AD=BD=AE=CE，你觉得小南发现对吗？并说明理由.

教学环节四：课堂小结，听课检测

小结问题1：与垂径定理相比，本课的弧、弦、圆心角主要是由圆的什么性质探究而来？

小结问题2：本课一些问题证明时，你觉得哪种辅助线比较常用，在小组内举例交流.

听课检测题：如图7，A，B，C是⊙O上的三点，C是弧AB的中点.连接OA，OB，BC，AC，得到四边形OACB.

（1）圆心O到弦AC，BC的距离相等吗，为什么？

（2）当∠AOB=120°时，求证：四边形OACB是菱形.

（3）小颖认为：若△AOC是等边三角形，则△BOC一定也是等边三角形.你觉得小颖说得对吗？为什么？

（4）当AB垂直平分OC时，求∠AOB的度数.

（5）作∠BOC的平分线交⊙O于点D，当∠BOD=35°时，求∠CAO的度数.

图7

二、立意解读

1.理解教材整体结构，预设课堂引入情境

对比教材在垂径定理引入前，先引导学生发现圆是轴对称图形，并利用圆的轴对称性质探究出垂径定理；而在本课弧、弦、圆心角的引入时，教材上是以“圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心”开头.可以发现，作为教材编写者，有一个整体观隐含其中，那就是基于圆的不同对称性质分别引出新的教学内容.也正是基于上述认识，我们直接根据圆的中心对称性质开门见山，引入新课，而没有安排一些无关的生活现实.

2.淡化定理证明过程，预设题组巩固概念

考虑到弧、弦、圆心角之间关系定理的证明主要是一种旋转验证，故我们在上面的课例中淡化了证明过程，而侧重于利用系列题组、问题串的训练来巩固新概念.教材的设置也是这样的用意，教材没有纠结于证明过程，而是在简单验证之后直接给出系列定理.我们只是在文字定理的基础上，引导学生整理该定理的符号语言.

3.重视例题变式生长，当堂检测注重反馈

教材上只安排了一道正多边形与圆综合的例题，相对来说题量偏小，针对我们教学实际，增加了另外的例题、跟进习题，特别是对出现频率很高的等边三角形与圆的综合考查问题，我们增设了跟进练习，并在课堂小结阶段又改编了一道题组，既巩固了本课的概念与定理，又从不同角度训练弧、弦、圆心角之间关系定理的理解程度.

三、写在最后

郑教授在文2中还指出教材上很多知识、方法、思想的教学需要“由隐向显”的转化，而这又直接涉及“过程”与“结果”之间的辩证关系，现今的教材虽然对二者的辩证关系给予了足够的重视，但是彻底解决还要依靠教师创造性劳动才能正确解决.在这个意义说，近两年来，《中学数学》（初中版）刊发了大量研究江苏南通启秀中学李庾南老师的课例就有着特别重要的意义，因为李老师的课例多是在“学材再建构”的基础上开展教学设计的，追求了“有规则的自由”，值得广大青年教师深入研习.

1.钟启泉.新旧教学的分水岭［J］.基础教育课程（上），2014（2）.

2.郑毓信.数学教师如何才能用好教材［J］.小学教学·数学版，2016（3）.

3.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.周红娟.从操作走向思考，从“参观”走向“探索”——“等腰三角形的性质（第1课时）”教学与反思［J］.中学数学（下），2014（7）.H