搭问题支架铺探究之路——以改进勾股定理教学设计为例

☉四川省资中县第二中学刘之兵

搭问题支架铺探究之路
——以改进勾股定理教学设计为例

☉四川省资中县第二中学刘之兵

数学课程标准（2011年版）在解读“创新意识”时，指出：“学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证是创新的重要方法.”［1］对于勾股定理，其要求是“探索勾股定理，并能运用它解决简单的实际问题”.因此，勾股定理的教学多用“探究式”教学，但由于勾股定理存在发现难、证明难的问题，常有“伪探究”之嫌.能否进一步探索，获得更能体现探究特点的教学设计呢？笔者在反思的基础上，以问题支架理论为指导，就华师版《义务教育课程标准教科书·数学八年级上册》“14.1勾股定理——1.直角三角形三边的关系”［2］的教学作整体的改进设计，瑕疵难免，敬请批评指正.

一、勾股定理教学设计反思

目前，关于探索勾股定理的教学设计主要有两种方式，一是按教材的呈现方式（各版本教材大同小异），即“网格图中，以等腰直角三角形三边为边的正方形的面积之间的关系→在网格图中，以直角三角形三边为边的正方形的面积之间的关系→以一般直角三角形三边为边的正方形的面积之间的关系→简单运用”；二是以三角形三边不等关系为基础探索勾股定理，如文3.笔者以为，上述两种设计存在以下不足：

1.问题提出不自然

如图1，教材直接在网格中给出以等腰直角三角形三边为边的正方形图，并指出其面积关系，提出“一般直角三角形中，两直角边的平方是否等于第三边的平方呢？”这里尽管有“正方形瓷砖铺成的地面”为背景，这个图形的出现仍感觉比较勉强，问题的提出似乎很自然，但重要的是，之前怎样想到去探寻Rt△ABC三边的平方关系.也许谁也说不清勾股定理到底是怎样被发现的，但能否设计有利于学生发现问题的问题设计呢？

图1

2.探究过程指导不足

文3指出：按现行教材呈现方式设计教学过程，缺少了培养学生发现问题、形成和提出问题的过程，问题的目标指向过于直白和单一，弱化为一种验证过程.然后呈现了由学生提出问题“三角形中任意两边的平方和大于第三边的平方”，通过质疑、矫正，进而提出“有的三角形两边的平方和大于第三边的平方，有的三角形两边的平方和小于第三边的平方”的教学设计思路.但问题是同一个三角形中两种情况都可能出现，由于八年级的学生分析问题的能力还不强，这时候思维目标指向不明，会直接影响归纳、概括结论，因而达不到进一步发现结论的目的.那么能否设计适当的问题帮助学生发现结论呢？

3.猜想与证明衔接不紧密

按教材的呈现方式设计教学，猜想表明“以直角边为边的两个正方形的面积和，等于以斜边为边的正方形的面积”，但证明又是通过弦图来证明的，即是直接证明a2+b2=c2，学生没有直接看到“以直角边为边的两个正方形的面积和，等于以斜边为边的正方形的面积”，客观上造成了猜想体现的思路与证明的思路脱接，这种对猜想进行的等价变更，学生理解起来是生硬的，从而产生困惑、失落感.能否设计问题达到学生的心理预期，获得满足感，并理解不同典型证明之间的内在联系呢？

基于上述思考，合理整合有利于进一步改进勾股定理教学设计.

二、问题支架理论的基本认识

问题支架就是指那些对学生解决数学学习困惑能起建构意义和辅助作用的问题框架.它区别于普通数学问题的根本点在于是否体现了“桥梁性”、“纽带性”的过渡作用，是否给予了学生跨越“已知区”到“最近发展区”，甚至“未知区”的支持作用.

问题支架理论整合了“问题化教学理论”、“伍德

（Wood，Rruner&Ross）的学习支持理论”、“维果斯基（Vrgotsky）的‘最近发展区’理论”三者所长，大大地化解了三种理论独自运用于实践中出现的困难，其设计办法既实用又有一定的操作性.特别是在面临重要而又困难的数学教学问题时，进行问题支架设计有简明扼要、直入思维主题的特点.

问题支架设计的基本步骤是：问诊“已知区”与“最近发展区”间的差距→设计适度问题支架→评价修改问题支架.［4］

下面以问题支架理论为指导，通过设计适当的问题支架解决反思中提出的问题.

三、勾股定理教学过程的改进设计

1.创设情境，提出问题

问题1：（1）任何三角形的三边之间都有怎样的不等关系？若设三角形的三边长为a、b、c，则可以写出几个不等式？

（2）三个不等式结构相同，以a+b＞c为例，从字母指数的角度可以理解为a1+b1＞c1，从这个新的视角出发，你能提出新的问题吗？

设计说明：通过让学生回顾任意三角形三边之间的数量关系创设问题情境，起点低，学生容易进入课堂状态.引导学生从“a+b＞c”的组成元素a、b、c的“指数”入手，以新的视角重新审视，提出崭新的问题.为学生研究“三角形两边的平方和与第三边的平方的关系”这一最近发展区建立了良好的支架.且沿着这一思路，学生可能还会提出an+bn与cn的比较，甚至延伸到费马大定理问题，亦或脱离三角形，一般性的研究之间的关系等，这是学生发展的未知区. 2.数学探究，验证假设

同学们提出：三角形任何两边的平方和大于第三边的平方，三角形任何两边的立方和大于第三边的立方，……

问题2：我们今天研究三角形任何两边的平方和与第三边的平方的大小关系.

（1）你赞成“三角形任何两边的平方和大于第三边的平方”吗？无论赞成与否，请举出例子与同伴交流.

（2）假设三边为a、b、c，且a≤b≤c，①a2+b2与c2；②c2+ b2与a2；③a2+c2与b2，三组式子大小关系确定的是哪些？不确定的是哪一个？由此我们研究的问题可以进一步明确为什么？你有何猜想？

设计说明：问题（1）难以做出一个明确的回答，通过“举出例子与同伴交流”让学生“退到具体”，使得不同层次的学生都容易做，并有话可说.体现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念.通过举例作出判断，经历了自我发问，自我否定、肯定的过程，培养了学生的问题意识、合情推理能力和理性精神.但由于三角形三边可能会出现“两边的平方和大于第三边的平方，两边的平方和小于第三边的平方，两边的平方和等于第三边的平方”三种情况，造成学生归纳概括遇阻，因此有必要设计一个适当的问题支架，增强思维目标的指向性，这就是第（2）问，它使数量关系有序化，并为后面的探究奠定基础，避免无序探究.

问题3：（1）刚才我们用举例验证的方法发现a2+b2与c2可能有某种关系.但三角形的形状千奇百怪，形态各异，我们举得完吗？能够选代表吗？

（2）请同学们想一想，大家怎样分工更有利于发现结论？

（3）请拿出老师课前发给大家的方格纸，画出自己需要的格点三角形，请第一、二、三组分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，并测量、计算结果（可以运用计算器），其他组可随意选择，将结果填写在下方的表格中，并写出你的结论.

（4）让我们来统计全班的结果，由此你们获得了什么结论？你们确信它是正确的吗？说说自己的看法.下面老师用几何画板软件来帮助大家进一步检验刚才的结论.

设计说明：引导学生“退到具体”，并由学生讨论如何分工合作，培养学生的公共精神和合作意识.设计表格的目的是为了给学生搭建发展统计意识、分类意识、合情推理意识的有效支架.由于学生在测量中难免会产生误差，从而导致直角三角形两直角边的平方和不等于斜边的平方，要引导学生分析原因，通过合情推理提出猜想，并通过几何画板软件验证，使学生认为猜想是可信的.

3.数学证明，感悟历史

问题4：（1）我们现在有理由确信刚才得到的三个结论是正确的.但是无论验证多少次都不能说明所有情况是正确的，所以必须通过证明，猜想才会变成真理.下面我们来证明“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”（其余两个结论也都是正确的，以后我们会学到它们）.我们学过的几何量有线段的长、角的大小、周长、面积等，哪个量与平方有关呢？由此你想到了什么图形，它可能帮助我们找到证明思路吗？

（2）如图2，a、b、c分别是△ABC的三边，且∠C=90°.这样，证明a2+b2=c2就是证明S正方形P+S正方形Q=S正方形R.

验证：假设a=3，b=4，S正方形P=_____，S正方形Q=_______，S正方形R=______.

可见，S正方形P+S正方形Q_____S正方形R.

方法小结：①你是怎样计算正方形R的面积的？

②你割或补的三角形与△ABC有何关系？

设计说明：由特征式a2、b2、c2联想正方形面积，使所作辅助正方形P、Q、R顺理成章，并很好地为学生示范了如何由“数”到“形”实现数形转换.但由于勾股定理的证明对于学生来说是困难的，因此必须寻求一个合理的支架，使得学生能做，但又不失一般性.再次“退到具体”，将a、b、c具体化，但蕴含实质（面积割补），这就形成了一个良好的方法支架.问题“你割或补的三角形与△ABC有何关系？”为下一步一般化做出证明作好准备.

图2

图3

证明：如图3，去掉图2中网格，BC的长就是a，AC的长就是b，AB的长仍为c，凭直觉，你觉得刚才的方法还适用吗？下面我们采用割的办法来研究，请在正方形R中画出来，然后跟同伴交流你的做法.

S正方形P=_____，S正方形Q=_____，S正方形R=c2=_____.可见，S正方形P+S正方形Q_____S正方形R.

归结为Rt△ABC的边就有：BC2+AC2=AB2

这就是著名的勾股定理，你能用自己的话叙述一下吗？

设计说明：去掉网格，数据一般化，就是让学生对前面的特例进行推广，体会方法的不变性，培养学生探究问题的能力.但毕竟这个证明是比较困难的，因此设计了填空式的问题支架.有了特例计算的经历，使学生在流畅、自然的思维中完成推广，满足了学生的求知欲，并产生心灵上的震撼.

问题5：（1）在西方这个定理叫毕达哥拉斯定理.事实上，我国的数学名著《周髀算经》（约成书于公元前1世纪）里，商高与周公关于“勾三股四弦五”的对话，表明我国已发现了勾股定理，可惜并未给出严格的逻辑证明，直至三国时期赵爽给出“弦图”，采用拼图的方法才给出了证明.2002年在北京召开的第24届国际数学家大会（ICM—2002）的会标正是弦图，标志着我国古代数学的成就.这段关于勾股定理的历史，对你有何启发？

图4

（2）如图4就是著名的赵爽弦图，显然它正是我们刚才的证明中割正方形R的结果.实质上是将a2+b2=c2变形为a2+b2-2ab+2ab=c2，即然后向以c为边长的大正方形内，拼出4个直角边为a、b的直角三角形，中间形成一个边长为a-b的小正方形，利用面积法中“割”的方法证明.类比此法，你能向以c为边长的大正方形外，拼出4个直角边为a、b的直角三角形，进一步利用“补”的方法证明吗？这个问题留给大家课后完成.

设计说明：回顾勾股定理的历史，从中外对勾股定理命名的不同进行爱国主义教育，进一步了解数学抽象严谨的特点.在理性分析赵爽弦图证明勾股定理的基础上，再设问题支架“类比此法，你还能构造出新的图形给出证明吗？”引导学生类比、赋予数式几何意义，创造新的证法.

4.运用知识，加深理解

问题6：在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8.求AC.

提问：（1）能运用什么知识将已知和要求的AC联系起来？运用什么方法可求AB？

变式练习教材111页练习题

提问：（2）通过例题学习和变式练习，运用勾股定理可以解决什么样的问题？你认为运用勾股定理要注意什么？

设计说明：通过设计两个策略型问题支架引导学生进行简单的数学建模，在变式练习中让学生自己总结：运用勾股定理求边长，可以列式（知二求一），也可以列方程求解，但要注意哪条边是斜边.

5.及时小结，布置作业（略）

四、教后反思

教学实践表明，设计适当的问题支架确实能减缓教学坡度，突破教学难点，取得良好的教学效果.下面是两点反思.

1.丰富对问题支架的认识，更好地发挥问题支架的作用

营造良好的课堂氛围，把握好给出问题支架的时机.学生的学习必须“在状态、在思维”才是有效的，思维的活动水平又与课堂氛围有密切的关系.因此，必须营造宽松自在的课堂氛围，创设富有启发性的问题情境，促成学生形成愤悱状态，形成“攀越”的态势，此时给出问题支架，学生就会沿着支架自觉攀登.

根据问题难度和学生认知能力，合理选择问题支架.按照问题支架性质，可分为策略性问题支架、方法型

问题支架、知识型问题支架.如果问题很难，学生从“已知区”到“最近发展区”的距离则很长.此时，需要综合设计多种问题支架，以便帮助学生顺利达到“最近发展区”.如果问题的难度一般，则设计适当的方法型问题支架或知识型问题支架即可.

根据教学需要和客观条件，灵活选择问题支架的呈现形式.问题支架的呈现形式有：整体提问式、填空式、表格式、动态式（动画演示，教具演示，或学具操作）等.当然，有时需要多种形式相互配合才能更好地发挥问题支架的作用.

2.要培养学生自己寻求解决问题的支架

问题支架对于学生而言起到了突破难点，明确思维方向，找到解决问题的办法的作用.但从培养学生的创新精神和实践能力的角度看，如果总是教师给出问题支架，这将不利于学生学习.因此，我们要引导学生自己发现思考问题的角度、方法，自己提出指向解决问题的问题支架.有时复杂问题需要多个问题支架，问题支架之间可能是递进关系，也可能是并列关系，或兼而有之，要引导学生自己由此及彼去建立联系，探寻问题支架之间的关系，搭建解决问题的跳板.即做到对学生既“牵手”，又“放手”，既教“知识”又教“学习”.

如何引导学生自己发现思考问题的角度、方法呢？美籍匈牙利数学家波利亚给了我们很好的建议：如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题.你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？……让学生在这样的主动思考过程中积累探索问题的经验，体会问题变更前后的关系，总结寻求解决问题的支架的方法，形成大胆思考，勇于创新的良好品质.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.王建磐.义务教育课程标准实验教科书·数学（八年级上册）［M］.上海：华东师范大学出版社，2013.

3.沈仁广.论中学数学探究学习的价值取向：以勾股定理教学设计的改进为例［J］.数学通报（京），2012（9）.

4.商庆平.中学数学教学中的问题支架设计研究［J］.中学数学教学参考（中），2012（5）.

5.齐黎明，刘芸.“勾股定理”的教学设计与反思［J］.中学数学（下），2011（4）.

6.方均斌，薛智慧.例说数学教学设计的四个话题——兼谈数学教学设计的观念问题［J］.数学通报（京），2012（7）.H