“源”来如此——2016年南京市中考第21题感悟

☉江苏省南师大附中新城初中何君青

“源”来如此
——2016年南京市中考第21题感悟

☉江苏省南师大附中新城初中何君青

2016年中考尘埃落定，各地中考试卷相继出炉，作为江苏省省会，南京市中考试卷历来受到全国各地教育同行的关注.今年南京市中考试卷结构合理，知识面覆盖广，区分度恰当.在考查方向上，注重基础、突出能力；在考查内容上，体现了基础性、开放性、新颖性和探究性.试卷第21题“三角形的外角和等于360°”的考查可谓独具匠心，笔者对此题进行了深入研究，感悟颇深，故撰文与同行交流.

一、原题呈现

用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”.

如图1，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.

求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.

图1

证法1：∵_____，

∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3= 540°.

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-（∠1+∠2+∠3）.

∵________，

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.

请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.

分析：本题是三角形相关知识与思想方法的综合运用，是苏科版教材七年级下册第32页“做一做”的延伸，教材中仅给出了证法1.本题先以填空的形式让学生将证法1补充完整，注重强调几何语言的重要性、规范性，再让学生用不同的方法进行证明，注重学生发散性思维的培养.本题源于教材、高于教材，以文字、符号、图形等方式多样化呈现，有利于学生读懂题、理解题意.从考查内容上看，本题注重对基础知识、基本技能的考查，同时注重对基本活动经验、转化思想的考查；从考查方式上看，本题打破以往的考查方式，让学生用两种方法解决同一问题，可谓是南京中考历史上的重大突破，给优生更多的展示机会，可见一题多解仍然是解题教学中一个永恒的话题；从考查意义上看，本题的考查注重知识间的连贯性，从“三角形内角和等于180°”到“三角形的外角和等于360°”是知识的拓展、运用的延伸，提醒教师授课时需注重知识的发生、发展、探究过程，更要注重学生发散性思维的培养，把思考的空间和时间尽可能多地留给学生.本题证法2方法多样，学生能从多个角度思考问题，有利于培养学生思维的广阔性.所以无论从试题的新颖性、公平性，还是试题的效度、信度、区分度、可推广性，本题都是一道不可多得的好题.

二、常规解法

教材，是中考命题的蓝本，也是中考命题的天然素材，是考题的主发源地，可谓取之不尽、用之不竭，每年都有大量的题目直接出自教材，或以此为基础，改造整编、繁衍生息.作为重要的资源库，教材中的诸多例题、思考题、习题都是经过专家多次打磨、筛选后的精品，自身蕴藏着丰富的潜在功能，有待我们把握立意，探其源，究其变.本题证明“三角形的外角和等于360°”就出自教材，笔者翻阅了全国各地的教材，发现有以下方法.

人教版八年级上册第15页例4给出的方法如下所示.

如图1，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：

∠BAE=∠2+∠3，

∠CBF=∠1+∠3，

∠ACD=∠1+∠2.

所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）.

由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD= 2×180°=360°.

分析：此法先利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”这一结论，将三角形的三个外角转化成三角形的内角，再借助“三角形的内角和等于180°”将问题解决.从解题教学的角度看，此方法从已知到可知，从要知到需知，拟定可行的步骤成功地解决了问题.此法“源”于学生对三角形基本要素之间关系的理解，事实上，三角形的内、外角有着密切的关系，当题目与外角有关时，转化成内角是常用的方法，此法体现了知识间的连续性.

华师版七年级下册第78页概括给出的方法如下所示.

如图2，过点A作射线AP，使AP∥BD.

∵AP∥BD，

∴∠CBF=∠PAB，∠ACD=∠EAP.

∵∠BAE+∠PAB+∠EAP=360°，

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.

分析：此法借助平行线的性质将三角形的三个外角转换到一个周角上，巧妙地求出三角形外角和等于360°.此法“源”于学生之前求三角形内角和的经验，在求三角形外角和之前学生曾经求过三角形的内角和，当时所用的方法就是将三角形的三个内角通过平行线转换到一个平角上，通过此方法，学生得到了经验的迁移，在解决三角形的外角和时，很自然想到转化成周角的方法.当然，此解法还有其余几种类似的变形，如图3，在三角形一边上取一点，借助平行线将三角形的三个外角转换成一个周角；如图4，在三角形内部取一点，借助平行线将三角形的三个外角转换成一个周角；如图5，在三角形外部取一点，借助平行线将三角形的三个外角转换成一个周角.

图2

图3

图4

图5

上述方法均源于教材，学生在解决本题时，还容易

想到如下的方法.

如图6，连接EF、FD、DE.

图6

在△AEF中，∠FAE+∠AEF+∠EFA=180°.

在△DBF中，∠DBF+∠BFD+∠FDB=180°.

在△ECD中，∠ECD+∠CDE+∠DEC=180°.

所以∠FAE+∠AEF+∠EFA+∠DBF+∠BFD+∠FDB+∠ECD+∠CDE+∠DEC=180°×3=540°.

即∠FAE+∠DBF+∠ECD+∠DEF+∠EFD+∠FDE= 540°.

又∠DEF+∠EFD+∠FDE=180°，所以∠FAE+∠DBF+∠ECD=540°-180°=360°.

即∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.

分析：此法将三角形的内角和的结论用得“淋漓尽致”，用四次三角形的内角和巧妙地求出了三角形的外角和.笔者认为，此法“源”于学生对基本图形“割补”的理解，在学习勾股定理时，学生对赵爽弦图印象深刻，头脑中有一个大正方形套一个小正方形的基本图形，而此处有异曲同工之处，将大三角形中套一个小三角形，巧妙地得到了“三角形的外角和等于360°”这一结论.当然，此解法还有类似的变形，如连接EB、FC、DA.

纵观以上方法，都“源”于课堂上的积累.事实上，三角形外角和的探索对学生来说并不陌生，是课堂上教师一定会关注的基本概念，但是由于课堂进度等诸多原因，教师在教学时往往给予学生探索的时间和空间不足，使学生对数学概念的过程性认识偏浅，缺少逻辑推理的联系、体验，并未获得该有的深层次结论，认识较浅.在上课时，若教师充分让学生对数学结论发表自己的看法，给予足够的探究时间，学生的数学能力必然会有大幅度的提升.

所以，笔者提倡在数学概念的学习时，用好教材，允许学生有不同的理解、不同的表达、不同的求解思路，甚至在不同的学段用不同的方法解决.特别在“图形与几何”的教学中，学生在解题时经常会产生一些其他想法，教师要鼓励学生大胆说出自己的思路，要在引导学生思考和寻找眼前的问题与学生已有的知识体验之间的关联方面，为学生提供有启发性的讨论模式，使学生在充分参与活动的基础上体验收获的过程，体会成功的喜悦，从而激发学生对数学更浓厚的兴趣.

三、特殊解法

如图7，作△ABC的外接圆⊙O，上取点H，在上取点G，在上取点I，连接GB、GC、HA、HB、IA、IC.

∵四边形ABGC是⊙O的内接四边形，

∴∠G=∠BAE.

同理可得∠H=∠ACD，∠I=∠CBF.

∴∠G+∠H+∠I=∠BAE+∠ACD+∠CBF.

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.

图7

图8

分析：此法以外接圆为载体，借助圆内接四边形的相关性质，将三角形的外角转换成圆周角，继而转换成弧解决问题，能用此法的学生可谓让阅卷教师眼前一亮.此法“源”于学生对圆的相关知识的理解，在学习圆时，学生经常借助圆周角转换某一个角，在做此题时，学生知道三角形外角和等于360°，所以很自然地想到转换成一个圆来解决.这种做法将初中的知识贯穿起来，一道七年级的问题，用九年级的方法解决，依然如此自然，这需要学生很强地解决问题的能力和对数学知识之间连贯性的熟练理解.

如图8，作△ABC的内切圆⊙O，⊙O与AB、BC、CA分别相切于点H、G、I，连接OG、OH、OI.

∵⊙O与AB、CA分别相切于点H、I，

∴∠OHA=∠OIA=90°.

∴∠HOI+∠1=180°.

又∠BAE+∠1=180°，

∴∠HOI=∠BAE.

同理，可得∠HOG=∠CBF，∠IOG=∠ACD.

∴∠HOI+∠HOG+∠IOG=∠BAE+∠CBF+∠ACD.

∵∠HOI+∠HOG+∠IOG=360°，

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.

分析：此法以内切圆为载体，借助切线的相关性质，将三角形的外角转换到一个周角上，从而解决了问题，虽然此法也是转换成一个周角，但是相当巧妙.此法

“源”于学生对“360°”的理解，在学生的理解中，看到180°容易想到平角，看到360°自然想到周角.当然，此解法还有类似的变形，如在△ABC内任取一点O，过O点分别作三边的垂线.

这两种解法的出现并不是偶然，当学生从九年级回过头研究七、八年级的旧问题时，很容易产生不同于之前的作法、新的认识，这就是学生在课堂上实现创造的体现.

荷兰数学家弗莱登塔尔提出：学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己发现或创造出来.故在课堂上只有模仿远远不够，模仿只能让学生“学会”，并未真正“会学”，知识是学不完的，所以教师要让学生在课堂上实现知识的创新、整合，就应当让学生在自主探索、合作交流的实践活动中，根据已有的体验，用自己的思维方式重新创造，得到更多的收获，如此才能推动数学能力的进步和数学思维的发展.

四、感悟思考

无论什么性质的考试，都非常注重对基础知识、基本技能和基本思想方法、基本活动经验的考查.若没有扎实的数学基础，能力的培养和提高则无从谈起.在教学中，教师不仅要求目标、手段多样化，更要注重解决问题策略的多样化，要把思考的空间和时间留给学生，激发学生的好奇心和求知欲，通过学生独立思考、试验、猜想探求新知，创造性地解决问题.本题的出发点是让学生学习时关注概念的理解，重视基础知识、基本技能，让教师教学时关注学生数学经验的获得，重视基本活动经验的积累，然而通过本题还“逼”出了学生的思想，从代数角度和几何角度渗透了转换的思想，可见这道中考题的成功之处.

1.有利于改善教学方式，促进学生能力的发展

中考是初中教学的指挥棒和方向标，中考的命题方向对平时的教与学会产生深远的影响.随着学校教学的恶性竞争，教学的“功利性”愈演愈烈，素质教育流于形式，凡是中考必考的知识一定进行大量的机械训练，凡是中考不考的知识绝不补充讲解.这样的模式不利于学生能力的培养和后续的发展，要想有所改变，必须从源头抓起，改变中考的命题方向.本题恰好是课内知识的拓展延伸，在那种应试的课堂决不可能出现，在平时的“题海战术”中也不涉及，那些整日在“分数”压迫下的教师很少会关注这样的考题，在题海中“遨游”的学子并不占优势，相反，平时注重知识的形成发展、喜欢自主探究和具有发散性思维的学生占一定的优势，这也是新课标所倡导的“引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维”.

长此以往，学生从内心深处想改变学习的模式，促使教师在平时的课堂上主动改变授课的模式.若在以后的中考中多出现这样的试题，对素质教育的落实和课堂教学改革将起到潜移默化的作用.教师在平时的课堂教学中，知识的直接灌输少了，注重知识的形成、发展探究的多了；学生只埋头做题的少了，主动探究、了解知识来龙去脉的多了.在平时的教学中，教师会注重数学过程的教学，特别是对于数学概念、公式、定理和性质等知识的来龙去脉的教学，给学生留有足够的时间和空间，让学生经历观察、猜想、分析、综合、归纳和论证等活动，让其亲身体验知识的发生、形成与发展过程，学会研究的策略和方法，发展探究和归纳的能力，获得终身受益的数学素养.

2.有利于教师进一步钻研教材，培养学生的兴趣与习惯

教材是《课标》的载体，教材的编写突出基础知识、基本技能、基本活动经验和数学思想.教师在教学中应立足于教材，致力于教材资源的开发，充分利用教材中的例、习题，进行变式、拓展、重组，注重一题多解，一题多变，充分发挥教材的功能.

苏霍姆林斯基认为：在人的心灵深处，有一个根深蒂固的需要，希望自己是一个发现者、研究者、探索者.所以合理地利用教材，让学生多研究，定有好处，笔者建议在不同学段研究同一问题，学生可能会从不同层面，以不同角度为切入点提出各种各样的见解，从而形成不同的思路，得出解决问题的不同办法，这些见解有时可能会突破我们的常规做法，很可能就是创新，对知识的重组与整合，如果是正确的，学生会异常兴奋，收获满满，说不定在这样的教学方式下学生学习数学才能达到真正的发展.比如，九年级时研究直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.平时日常的教学中，我们教师也要充分利用教材“故意”遗留的空白，培养学生主动探究，增强学习数学的兴趣.当学生对数学产生浓厚的学习兴趣时，会有强烈的求知欲，能主动自觉地探求知识，使教学效果事半功倍.

一道中考题，简单而又不简单，题目源于课本，方法源于课堂，让教师明白活用教材、给予学生足够空间和时间的重要性，掌握源于领悟，升华源于追求，让学生了解自主探究、领悟内涵的重要性，更体会到数学能力发展才是学习数学的第一要义.Z