聚焦外角和整体来思考

张立道

根据n边形的内角和等于（n-2）·180°，我们可以推理得到n边形的外角和等于360°，也就是说随着多边形边数n的变化，多边形的内角和也在变化，而多边形的外角和是一个不变的量，都等于360°.解决与多边形内角或外角度数有关的问题时，往往从多边形的外角和入手，整体思考更显解法自然.现举例加以说明.

一、直接应用多边形外角和定理

例1 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是（ ）.

A.7 B.8 C.9 D.10

【分析】本题给出条件“多边形的每一个外角都等于40°”，根据多边形的外角和都是360°，所以，直接用360除以外角的度数就可以求出多边形的外角个数，即多边形的边数，为360÷40=9.选C.

【点评】本题直接应用多边形外角和与每一个外角、外角个数即多边形的边数之间的数量关系求得多边形的边数.

例2 （2016·臺湾）如图1中的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点.若图中∠1、∠2、∠3、∠4的角度和为220°，则∠BOD的度数为（ ）.

A.40° B.45° C.50° D.60°

【分析】待求的∠BOD既不在三角形中，也不是多边形的内角，那我们就应考虑把∠BOD放入三角形中或构造成与多边形外角有关系的角，延长BC交OD于点M，这样，就可以直接根据多边形的外角和为360°得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根据三角形的内角和为180°，∠OMC与∠BMD的和为180°，即可得出结论.

解：延长BC交OD于点M.

∵多边形的外角和为360°，

∴∠OBC+∠MCD+∠CDM

=360°-220°=140°.

∵三角形的内角和为180°，

∴在△OMB和△MCD中，∠BOD+∠OBC+∠OMB+∠DMC+∠MCD+∠CDM=360°，

即∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，

∴∠BOD=40°.即本题应该选A.

【点评】本题考查了能否灵活地构造多边形的外角，直接应用多边形内角和与三角形内角和定理解决问题.

例3 如图2，六边形ABCDEF中，AB∥DC，∠1、∠2、∠3、∠4分别是∠BAF、∠AFE、∠FED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4= .

【分析】由图形可知：∠1、∠2、∠3、∠4是六边形ABCDEF的四个外角，如果能求出这个六边形的另外两个外角，即可求解.故作出这两个外角∠MBC、∠BCN，并应用平行线的性质求得它们的和，进而求得∠1+∠2+∠3+∠4的值.

解：作出六边形ABCDEF的两个外角∠MBC、∠BCN.

∵AB∥DC，∴∠MBC+∠BCN=180°.

∵六边形ABCDEF的外角和为360°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.

即：本题应该填180°.

【点评】本题考查了能否构造多边形中具有特殊数量关系的两个外角，从而直接应用多边形的外角和定理求得四个角的度数和.

二、转化内角为外角，整体应用多边形外角和定理

例4 （2016·扬州）若多边形的每一个内角均为135°，则这个多边形的边数为 .

【分析】由于一个多边形的每一个内角都等于135°，所以这个多边形的每一个外角都等于45°，再根据多边形的外角和都是360°，即可求得多边形的外角个数为360÷45=8.

【点评】本题考查能否根据多边形的每个内角与外角互为邻补角，求得多边形的每个外角的度数，进而整体应用多边形外角和与每一个外角、外角个数的关系，求得多边形的边数.当然，本题也可以设边数为n，根据内角和可以用代数式表示为135n，也可以用代数式表示为（n-2）×180，则可建立方程为135n=（n-2）×180，解得n=8.

三、实际问题数学化，整体应用多边形外角和定理

例5 （2016·十堰）如图3所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）.

A.140米 B.150米 C.160米 D.240米

【分析】由于小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，依次行走，他第一次回到出发地A点，说明小华转过的角度就是360°，即为运动路线构成的多边形的外角和是360°.每次左转24°，即为这个多边形的每个外角的度数，所以这个多边形的边数为360÷24=15，即左转15次可以回到出发点.又因为每次走10米左转一次，所以共走了150米.选B.

【点评】本题考查正多边形的外角计算与实际问题的结合.求小华所走的路程，使外角和的应用焕然一新，解答时需要同学们灵活地把实际问题抽象成数学问题.

（作者单位：江苏省扬州市邗江实验学校）