删繁就简三秋树，标新立异二月花——对2016年南通市中考数学第28题的分析与思考

☉江苏省海门市海南中学孙静

删繁就简三秋树，标新立异二月花
——对2016年南通市中考数学第28题的分析与思考

☉江苏省海门市海南中学孙静

今年我有幸参加了2016年南通市中考数学试卷的评阅工作，并担任第28题阅卷组组长.今年数学试卷总体上较好地体现了《数学课程标准》的评价理念，既重视对学生学习数学知识与技能的结果和过程的评价，也关注了学生数学思考能力和解决问题能力等方面的综合评价，体现了初中毕业数学考试的基本定位.从成绩统计和阅卷教师的反映看，今年数学题型多样，探索性强，是近年中考数学命题中的佳作，其中第28题更可谓上乘之作.

本文拟对第28题进行深入分析，并结合试卷中所反馈的信息，谈谈对数学教学的启示与思考.

一、试题呈现

如图1，平面直角坐标系xOy中，点C（3，0），函数y=的图像经过▱OABC的顶点A（m，n）和边BC的中点D.

（1）求m的值；

（2）若△OAD的面积等于6，求k的值；

图1

二、参考答案

（2）如图2，过A点作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F.由k值的几何意义，得S△OAE=S△ODF.

即S△AOG+S△GOE=S△GOE+SEFDG，则S△AOG=SEFDG.

则S△OAD=S△AOG+S△AGD=SEFDG+S△AGD=SEFDA.

将m=2代入，解得n=4，则k=mn=2×4=8.

图2

图3

（3）设A（2，n）.

图4

图5

化简得t2-3t-3=0，解得N位于BD段

图6

化简得t2-3t-5=0，解得

综上

三、优秀解法

本题第（2）问，叙述简约，呈现简洁，解法灵活多样，现给出不同于参考答案的五种解法，供参考.

解法1：如图7，连接OD、AD.

由S△AOD=S平行四边形OABC-S△ABDS△OCD，得解得n=4.则A（2，4）.

图7

k=2×4=8.

分析：学生对用分割法求三角形面积比较熟悉，所以有相当多的学生，通过这种直接法列出方程，求出n，进而得到k.

解法2：如图7，连接OD、AD，则S=1S.

△AOD2平行四边形OABC

则A（2，4）.

k=2×4=8.

分析：此法关键在于利用三角形面积等于平行四边形面积的一半，将△OAD的面积转化为平行四边形OABC的面积，简捷明了，易于理解，是最佳方法.

解法3：如图8，过点D作DG∥x轴交OA于G.则DG=OC=3.

由S△AOD，解得n=4.

则A（2，4）.

k=2×4=8.

2.典型症状。多见于雏鸡，感染初期病鸡表现精神不佳、头蜷缩、沉郁或闭目呆立、食欲减退，肛门四周羽毛被粪便污染粘连，略带少量血，第5、6、7天症状最明显，病鸡足和翅膀多发生轻瘫，出现共济失调。食欲废绝，渴欲增加，鸡冠和可视黏膜苍白贫血，拉稀带血乃至全拉血而死亡，病程数天，多则2～3周。

分析：此法通过平移OC利用分割法求△OAD的面

积，解法独特，颇具新意.

图8

图9

由S△AOD=S△AOF+S梯形AFED-S△DOE，S△AOF=S△DOE，得S梯形AFED= S△AOD=6.

则A（2，4）.

k=2×4=8.

分析：此法借助于双曲线中“化斜为直”的方法，把△OAD的面积转化为梯形AFED的面积，与参考答案相比，可谓异曲同工.

解法5：如图10，连接AD并延长交x轴于E，连接OD.

则△ECD≌△ABD.

则ED=AD，CE=AB=3.

则S△EOD=S△AOD=6.

则A（2，4）.

k=2×4=8.

分析：此法主要受常用辅助线——延长中线法的影响，再利用三角形的中线可以把三角形的面积平分这一性质得出方程，颇具匠心.

图10

四、试题评析

本题重点考查双曲线的相关知识，这与近几年南通中考最后一题相比有了改变，是涵盖数学中k值的几何意义、平行四边形性质、一元二次方程、数形结合、运动变化、转化、函数、分类等思想和方法的一道综合问题.第（1）问利用中点坐标公式及点的坐标含义求出m的值，意在引导学生由浅入深向第（2）和（3）问过度，安排合理，为学生的探究铺路.第（2）问难度不大，但方法灵活，主要是帮助学生克服做最后第（3）问的畏难情绪，为第（3）问的创新与发挥树立信心.第（3）问要求学生结合图形特点探求点的运动变化规律，合理分类，动静结合，构造了一个图动→手动→脑动的动态思维场景，要求学生在每一个场景中观察、分析、归纳、推理，真正考查学生思维的灵活性，区分度较高，优秀学生在这一题充分展示了自己的数学才华，起到了“选拔”的作用.

五、教学启示

从考生卷面及得分看，对于第（1）问，多数考生可得全分，第（2）问也基本能全对，但第（3）问问题较多，一些考生竟然直接利用第（2）问的结论，殊不知第（2）问中S△AOD=6前有一个大大的“若”字，也有些考生按平时做题的习惯，分0

1.学生正确的解题思路源于对“双基”的掌握

本题总体难度并不大，尤其是第（1）、（2）问，总分为9分，但均分约为5.62分，由此，我们在平时的教学中，必须夯实“双基”，根据教学内容有的放矢地营造师生互动、生生互动、兵教兵、生动活泼的课堂氛围.既要培养学生独立思考、反思质疑的习惯，让学生“理解和掌握”，还要关注获取“知识和技能”的结果，更要重视“知识与技能”的发生和发展过程.在知识的应用中不断巩固和深化“双基”，从而真正达到熟练掌握及灵活应用的程度.

2.学生正确的解题灵魂源于对思维的创新

古人云“删繁就简三秋树，标新立异二月花”.课堂教学要鼓励学生做标新立异的二月花，鼓励学生有所发现，有所创造，更要鼓励学生再次发现，重新组合，让学生在自我建构的过程中，张开思维与想象的翅膀，寻找解决问题的策略，在思考的过程中创新，在创新中发展，发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，学会多角度、全方位考虑问题，如解法3中，通过平移OC，利用分割法求△OAD的面积，不失为新颖独特的妙招.

3.学生正确的解题格式源于对“习惯”的规范

解答数学问题，要求步步有据，环环相扣，层层推进，书写规范，格式简明，一些学生可能脑子里想到了，但卷面上却漏洞百出，笔误较多，有些书写词不达意，不能抓住采分点.如第（1）问中相当一部分学生将点D的坐标表示错了，应该是竟错写成了所以在平时的教学中，一定要严格要求学生，从一点一滴抓起，规范解题格式和书写格式，促其养成正确的解题表达习惯，这样才能更有效地提高数学成绩.Z

图9

解后反思：证法4、证法5、证法6都用到四点共圆，解题的难度稍微下降.虽然证法4仍需证明△APQ与△QDC全等，但其难度已经不可同日而语.证法5中等腰梯形性质的运用很好地规避了第二次全等的证明，让人眼前一亮.证法6更是回避了所有繁杂辅助线的添加及第二次全等的证明，简捷的思路，极少的步骤，让人拍案叫绝.

四、结束语

学生的创造力是无穷的.在很多时候，他们需要的是点拨，只要点拨到位，他们常常给我们带来重大惊喜.同时，如果我们的课堂能让学生经常处于探讨的氛围中，这种课堂的生命力是无限的.H