关注数学整体突出核心过程

☉江苏省运河高等师范学校许荣良

关注数学整体突出核心过程

☉江苏省运河高等师范学校许荣良

一、问题提出

反观课改以来的教学，大家特别注重情境创设，注重学生活动，却忽视知识间的联系，经常出现“一课一个样，课课不重样”的现象，不注重激发学生已有的经验，不注重渗透研究问题的基本套路，缺乏数学整体观.整体观是指从全局考虑问题的观念，它是控制论、信息论、系统论中整体原理在数学中的反映，培养学生整体观主要是培养“学术整体观”和“文化整体观”.学术整体观是指在解题策略上整体考虑问题的意识，文化整体观是指从整体上认识数学内容的意识.要全面、立体地认识数学，形成数学的整体观必不可少.教师在进行数学教学时，应将数学知识、研究思路、研究内容、研究方法等对象置于整个数学知识体系中，重视知识之间的演进和内在关联.

同时，随着课改的深入，注重知识的形成过程已成为共识.实际数学教学中，部分教师对如何经历知识的形成过程研究不够，过程教学吃压缩饼干，草草了事，取而代之的是大量的例、习题操练.另一种现象恰恰相反，就是“半截课”，所谓“半截课”是指知识形成过程过于冗长，占据大半节甚至整节课的时间，导致知识巩固或知识运用板块时间不足，前松后紧、虎头蛇尾.偶尔为之不为过，经常如此显然会扰乱教学秩序，脱离教学实际.如何使过程教学厚重悠远，又显灵巧之意、简约之美？这就需要我们在深入研究过程内涵、着力挖掘过程本质的基础上，做到精中求简、返璞归真，呈现数学特有的“教育形态”，使得学生高效率、高质量地领会和体验数学的价值和魅力.现以苏科版七年级下册第7章平面图形认识（二）第2节探索平行线的性质（1）为例，谈谈具体做法和实践心得.

二、教学过程

活动1：温故知新

问题1：前面我们探索了两条直线平行的条件，请叙述平行线的条件，这些判定直线平行的条件有什么共同特征？

预设：这个问题应该是上一节课重点强调的内容.学生的回答不一定那么精确，需要教师引导得到：在两条直线被第三条直线所截的图形中，都是由角的数量关系判定两直线的位置关系.

问题2：反过来，如果已知两直线平行，那么这两条直线被第三条直线所截成的同位角、内错角、同旁内角又有怎样的数量关系呢？如何探究这个问题呢？

预设：这个问题不要求学生及时回答，应让学生静静思考几秒钟，目的是让学生体会如何利用条件与性质之间的关系去发现和提出问题.

设计意图：通过问题1复习平行线的三种条件及它们的特征，为区分平行线的性质和判定作好铺垫.通过问题2，让学生体验条件与性质之间的联系，以及利用它们之间的关系发现和提出问题.

活动2：探索新知

问题3：我们先来回忆探索平行线条件的方法，你能

说出探索平行线条件的方法吗？

预设：探索平行线条件的方法：通过观察、实验获得基本事实和其他猜想，再利用基本事实及学过的知识通过推理证实猜想.

设计意图：通过复习平行线的三种条件特征的研究方法，引导学生类比研究平行线特征的过程来构建平行线性质的研究过程，让学生充分体验如何利用已有的知识经验来分析和思考问题，以及充分体验研究一个几何问题的基本思路.

问题4：我们先来探究如果已知两直线平行，那么这两条直线被第三条直线所截成的同位角有怎样的数量关系.

我们可以利用练习本上的平行线条，先画两条平行线AB、CD，再画直线EF，使EF与AB、CD相交，找出图形中的所有同位角.

（1）观察：可得____________.

（2）实验：按照课本P13数学实验室进行操作，可得____________.

（3）猜想：____________.

（4）推理：与平行线的条件不同，这个结论我们不把它作为基本事实，可以证明.下面请同学们欣赏一下这个有趣的证明.

如何说明“两直线平行，同位角相等”？

反证法：如果AB∥CD，那么∠1=∠2.假设∠1≠∠2，如图1，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠1.根据“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”这个基本事实，可得A′B′∥CD.这样，过点O就有两条直线AB、A′B′平行于CD，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾，说明∠1≠∠2的假设是不对的，于是∠1=∠2.

图1

图2

由此得到性质1：两直线平行，同位角相等.

结合图2表达结论：

∵a∥b，（已知）

∴∠1=∠2.（两直线平行，同位角相等）

设计意图：通过提示语言，让学生充分感受问题的提出和研究的方法，从而掌握研究数学问题的一般性方法，即看、验、猜、证.对于平行线性质的证明，数学课程标准中写道：了解平行线性质定理的证明.作为选学内容，这里只是展示证明过程，让学生了解反证法，有利于提高学生的思维能力，也避免学生对循环论证的疑惑.

问题5：请按照上面的步骤，研究另外两个问题.先探究性质2：

（1）观察：可得__________.

（2）实验：按照课本P14数学实验室进行操作，可得_____.

（3）猜想：_____.

（4）推理：我们可以利用上面确定了的结论进行证明（因、果和因到果的理由）.

（5）写出结论，并用推理的形式进行表示.

（6）小结：

设计意图：先在教师的引导下，让学生充分经历动手操作—独立思考—合作交流—验证猜想的探究过程得到性质2，在这一过程中，锻炼学生由图形语言转化为文字语言、文字语言转化为符号语言的归纳能力和表达能力.同时在小结中利用思维导图，让学生感受推理的过程和书写，为下一步推理性质3及今后进一步学习推理打下基础.

问题6：探究性质3，你能写出类似的推理过程吗？即问题：如果直线a∥b，那么同旁内角∠2与∠4有什么关系？为什么？

设计意图：让学生自主感受一下研究方法，逐步构建研究思路，循序渐进地学会思考，从“说点儿理”向“说清理”过渡.

问题7：对比分析平行线判定与性质的区别和联系：

设计意图：通过思维导图，有利于学生更好地区分性质与判定，从而突破本课难点.

活动3：例题与练习（略）

活动4：课堂小结

教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）平行线的性质是什么？条件与性质之间有怎样的区别和联系？

（2）你能用自己的语言叙述研究平行线性质的过程吗？

（3）本节课通过简单推理得到性质2和性质3，在推理过程中需要注意哪些问题？

（4）请总结一下几何图形的一般研究套路.

设计意图：通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容——平行线的性质，引领学生回顾探究平行线性质的过程，体会研究平行线性质的方法，掌握研究图形性质的方法.同时，通过问题引领让学生形成小结的方法.

三、几点思考

1.构建一个研究平行线的整体框架

教师可尝试从定义、分类、判定、性质的路径来研究，通过这样的整体观，给学生“构建一个研究平行线的整体框架”，为后继研究三角形、四边形、圆等图形奠定基础.

首先，回忆从文字表达、图形表达、符号表示三个方面进行定义；其次，由于平行线的定义是描述性的，由平行线的定义知道平行线有“在同一平面内不相交（没有公共点）”的性质，但直线是无限延伸的，难以区分平行线与一个夹角极小的相交线，所以有必要从其他角度进一步探究和描述平行线的性质.绝大多数研究平行线的条件是从一些以往的经验，比如上学期画平行线的方法中的探究，或通过利用两条直线被第三条直线所截的模型，让学生通过观察去发现的.其实由于组成平行线的基本要素很少，只有两条线，所以需要借助一些辅助条件来协助研究，这样第三条直线就产生了.这时引导学生学会观察图形，然后引导学生针对看到的图形去探究有什么值得研究，这时对“三线八角”进行分类探究就水到渠成了.最后研究性质，不能一上来就是操作，应该让学生知道为什么要这样操作，应该引导学生从条件中去探究，知道条件与性质之间的关系，自然就能让学生形成“一个研究平行线的整体框架”.

2.构建研究几何图形的一般方法

上面是解决研究什么的问题，下面就是要解决怎样研究的问题.首先，我们要知道研究数学的工具是什么（位置、数量、基本图形）；其次，我们如何获得数学结论（看、验、猜、证）.我们要在每一节课中进行强化.纵观绝大多数的课堂，其实都能注意这一点，但是教师就是缺乏强调和总结，往往就是学生在教师的引导下动手做一遍，并不知道为什么要这样做，这样离开教师的提示，学生根本不能自主完成探究.

本节课，首先，要让学生紧紧抓住基本图形，然后从基本要素角先入手，从位置、数量着手去发现、提出问题，通过类比利用已有的知识与经验去分析和解决问题；其次，利用语言提示，引导学生充分经历“看、验、猜、证”的思维过程，使学生形成科学的思维方法.

3.注意选择核心过程

尊重“数学现实”是数学经验再造的起点，让经验直观化.数学经验“再造”是在尊重学生数学现实的基础上，激活学生已有的数学经验，使得已有经验成为“数学现实”.本节课，首先根据平行线的条件和研究平行线的条件这一“数学现实”，通过类比迁移引入新课.

新课程提倡开放、民主、探究的课堂，但是有放就得有收.“放”是培养发散思维、创新精神.“收”体现教师的引导作用.有的课例中，教师把证明“两直线平行，同位角相等”作为重点.本节课的重点是平行线的条件与判定的关系，如何研究几何问题应作为一个重点突出.

本节课在细节上精心设置每一个问题，以求问在学生思维最近发展区；反复推敲每一句过渡语言，以求承上启下、逻辑连贯、衔接自然.

注重概念的形成过程、按照概念的形成方式掌握概念并不意味着要经历人类认识这一概念的原过程.不错，中学数学概念都是在人类社会历史发展的过程中，随着生产、生活实践经验的不断积累、概括逐步形成的，许多概念都经历了漫长的认识过程，但学生并不需要（也不可能）重复前人的认识活动，而只需要“简约”地经历.认知心理学研究表明，学生掌握概念的过程与人类认识概念的过程有相似性.这种相似性反映在学生形成概念的心理过程中，包括从大量的具体事实出发，辨别、抽象、分化、提出假设与检验假设及概括，最后用语言符号表示概念.由此可见，我们强调概念的形成，强调发现，并不意味着都要让学生经历反复曲折的思考，或者过于严谨的过程，不要忽视观察、类比、顿悟、猜想等合情推理在知识形成过程中的巨大作用.教学的关键在于把握数学的本质，精中求简，保持核心价值.

其实性质、条件的研究也是在做题目，而且这样的题目具有典型性，其迁移能力是很强的.本节课，性质2、3的推理过程对提升学生的推理能力特别有帮助.Z