李庾南老师一元二次方程起始课教学赏析

2016-12-08江苏省泰州市姜堰区克强学校俞秋明

中学数学杂志 2016年22期

☉江苏省泰州市姜堰区克强学校俞秋明

李庾南老师一元二次方程起始课教学赏析

☉江苏省泰州市姜堰区克强学校俞秋明

近年来，《中学数学》（下）刊发了很多赏析专家教师南通启秀中学李庾南老师的课例文章，对于当下教学模式层出不穷、口号理念响声不绝的课改热潮是一针镇静剂，特别是对真正追求专业精进的广大同行，颇有助益.李老师的很多课例返璞归真，基于理解数学的高度，实事求是，不求花架子，稳扎稳打，简明自然，有着浓浓的数学学科味道.受此启发，笔者也找来李老师的著作、视频自发研习，本文就是近期反复观摩李老师一元二次方程视频课例后的心得体会，与同行分享.

一、李老师执教“一元二次方程”起始课概述

（一）创设情境，引入课题

（1）如何用一张长16厘米、宽12厘米的硬纸片做成一个底面积为96平方厘米的没有盖的长方体盒子？（由课本引例中的数据改编而成）

研究结果是：在纸片的四个角上剪去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就可以做成无盖的纸盒.问题是要使做成的盒子的底面积必须是96平方厘米，因而实际问题转化成为数学问题，即要求出截去的小正方形的边长.

（2）全班研究：如何用列方程的方法求解？

解法预设（安排学生展示）：设截去的小正方形的边长为x厘米，则盒子的底面的长及宽分别为（16-2x）厘米和（12-2x）厘米.

由题意，得（16-2x）（12-2x）=96.

整理后，得x2-14x+24=0.

教学预设：学生得到方程x2-14x+24=0后会发现，这不是已学的一元一次方程，不会解，为下一教学环节设置了悬念.考察数学史上，很多重大数学概念或分支的产生与发展，其动力往往来自难题突破.比如费马大猜想的解决与椭圆方程和模型式的理论相关，对于相对孤立的费马大猜想来说，历史上很多大数学家也绕着走开，但是最终英国数学家怀尔斯对其攻克成功也是借助于后来发展起来的新的数学工具和分支来实现的.

（3）教师给出一元一次方程3x-5=0，引导学生比较两个方程的异同点：

3x-5=0x2-14x+24=0

教学预设：引导学生比较这两种方程的相同点与不同点.

相同点：都是整式方程，合并同类项后，两方程都是只含一个未知数.

不同点：新方程中，未知数的最高次数为2，而一元一次方程中未知数的最高次数是1.

通过比较，学生由学习一元一次方程的经验，自觉给新方程命名为“一元二次方程”，明确了本节课研究的课题.

（二）归纳概括一元二次方程的定义，并训练识别一元二次方程

引导学生由概括一元一次方程的定义和一般形式的经验，自主地概括一元一次方程的定义及一般形式.

（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2（是合并同类项之后而言）的整式方程叫作一元二次方程.

（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）.

（3）教师根据学生的学习水平，编制练习题，引导学生练议.

（i）下列关于x的方程是不是一元二次方程？说明判断根据.

（意在突出一元二次方程的一般形式中的条件“a≠

0”，强化对一元二次方程的定义的认识）

（ii）将下列方程化成一元二次方程的一般形式后，说出各项及二次项、一次项的系数：

（x+1）2-2（x-1）2=6x-5→x2-4=0；①

3x（x-1）=2（x+2）-4→3x2-5x=0；②

（x+2）（x-4）=7→x2-2x-15=0.③

（三）探讨解法，感受转化思想

引导学生探讨解方程①、②、③的基本思想和具体方法.

（1）研究由已有知识能否求得方程①x2-4=0的解.

方法1：x1=2，x2=-2→给出解法的名称：“直接开平方法”.

方法2：根据因式分解的知识和“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中有一个等于0，它们的积就等于0”，可以解方程.

解：x2-4=0.

（x+2）（x-2）=0.

则x+2=0或x-2=0→给出解法的名称：“因式分解法”.

则x1=-2或x2=2.

（2）小组研究方程②、③的解法.

学生用“因式分解法”解方程②3x2-5x=0和方程③x2-2x-15=0.

（3）引导学生进一步研究、概括.

（i）解一元二次方程的基本思想：降次，转化为一元一次方程来解.

（ii）降次方法：直接开平方法，因式分解法.

教师讲解如下所示.

方程③x2-2x-15=0，也可以通过适当变形，运用直接开平方来解.

解：x2-2x-15=0.

x2-2x=15.

x2-2x+1=16.

则x-1=4或x-1=-4.

则x1=5，x2=-3.

教师讲评：把方程变形为左边是一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法求出方程的解.这种解法叫作“配方法”.

用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若有解，则它的解是用含系数a、b、c的式子来表示的，这就是一元二次方程的求根公式，以后直接用这个公式来求一元二次方程的解.这种解法称为“公式法”.

综上，一元二次方程的解法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法.

（4）请学生求出引例做无盖盒子需要在四个角截去的相同的小正方形的边长.

学生选用因式分解法求得了问题的解，即截去的小正方形的边长为2厘米.

（四）回顾小结

（1）对于知识，注重知识形成的过程、知识的本质及知识间的相互联系.

对照板书（如图1），引导学生加深本节课研究的知识结构：

图1

（2）学习方法：要学会观察现象，概括本质或规律，善于积极主动猜想、联想、探究未知.

二、课例赏析

1.李老师对单元教学的理解与实践达到相当高度，值得我们深入研习

按常规教学，是将一元二次方程的四种基本解法，一种方法一种方法地学、练，最后综合四种方法.这是先让学生学习“部分”，而后到“整体”的方法.本节课采用了反常规的教学方法.由于一元二次方程的定义、一般形式与一元一次方程类同，教师稍加点拨，学生便能迁移，自主获得新知.一元二次方程的四种解法的指导思想一致，且相互间又有转化关系，所以首先帮助学生建立知识体系框架，即形成“整体”知识，后续课再让学生站在知识“整体”的高度，自主而深入地研究知识整体的各个“局部”，因而需要重新组织教学内容.

2.李老师自主选编例、习题的专业追求值得重视，源于专业自主精神

我们注意到，李老师在本课中所选用的引例情境、

例题、变式题等，都是她精心设计和改编而来.比如选编的关于整理成一元二次方程的一般形式的练习题，整理后的方程分别为x2-4=0、3x2-5x=0、x2-2x-15=0，这就为学生根据“降次，转化为一元一次方程来解”这一基本思想进行自我探索转化的方法，提供了教学情境.

3.李老师运用所创设的数学情境，探讨了一元二次方程的四种基本解法

本节课的引例，改编了课本引例的数据，使整理的方程为x2-14x+24=0，也是为学生初步了解一元二次方程的四种解法，自我尝试运用这些方法解方程x2-14x+ 24=0，以解决本节课开始时提出的实际问题埋下伏笔的.问题的解决，又使学生再次体验到了数学的价值所在.这样教学，利于学生把握知识的生成过程、知识的本质、知识间的相互联系，也有利于培养学生自我探索、体验、自主建构的学习主体性.正如李老师书中所指出的：只有教师充分地发挥了教学的主体创造性，才能确保有效地、充分地发挥和发展学生的主体创造性.