一道高考数学题的引申与拓展

☉湖北大学数学与统计学学院　张素婷

一道高考数学题的引申与拓展

☉湖北大学数学与统计学学院张素婷

湖北省自2004年自主命题以来，高考数学湖北卷的部分试题常具有深厚的高等数学的背景，如2013年湖北卷理科第22题中出现的伯努利不等式，2014年湖北卷理科第14题中出现的关于函数f（x）的平均数概念，这类试题往往立意深远，背景丰富，远离复习资料，避免了“题海战术”的干扰，充分体现了高考数学试卷的选拔功能，同时也为数学教育工作者提供了广阔的试题研究的空间.2015年湖北卷文科第21题也具有深刻的高等数学背景，现谈谈这道高考题的引申与拓展，旨在抛砖引玉.

一、试题呈现

2015年湖北卷文科第21题：设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=ex，其中e为自然对数的底数.

（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x>0时，f（x）> 0，g（x）>1；

（Ⅱ）设a≤0，b≥1，证明：当x>0时，ag（x）+（1-a）<

二、解法与评析

解：（Ⅰ）由f（x），g（x）的奇偶性及f（x）+g（x）=ex，①

得-f（x）+g（x）=e-x.②

设函数h（x）=f（x）-txg（x）-（1-t）x.

由⑤⑥，有h′（x）=g（x）-tg（x）-txf（x）-（1-t）

=（1-t）［g（x）-1］-txf（x）.

当x>0时，

（1）若t≤0，由③④，得h′（x）>0，故h（x）在［0，+∞）上为增函数，则h（x）>h（0）=0，

即f（x）>txg（x）+（1-t）x，故⑦成立.

（2）若t≥1，由③④，得h′（x）<0，故h（x）在［0，+∞）上为减函数，则h（x）

即f（x）

（1）［g（x）］2-［f（x）］2=1；

（2）f（2x）=2f（x）·g（x）；

（3）g（2x）=［g（x）］2+［f（x）］2.”

本题选材于课本，衔接于高等数学，立足于考查函数的奇偶性、单调性、函数导数、不等式的证明，考查运算求解能力、推理论证能力.试题虽然要求证明一个双曲函数不等式，但并不难，符合文科考生的实际情况，是一道好题.

三、变式与引申

解答方法同以上（Ⅱ）的解法，到h′（x）=（1-t）［g（x）-1］-txf（x），设l（x）=（1-t）［g（x）-1］-txf（x）.

则由⑤⑥，得

l′（x）=（1-t）f（x）-tf（x）-txg（x）=（1-2t）f（x）-txg（x）.

再令s（x）=（1-2t）f（x）-txg（x），则

s′（x）=（1-3t）g（x）-txf（x），

s（x）

故l（x）

以上变式1的结论比试题（Ⅱ）的结论更强，那么还能再改进吗？不能，事实上有如下命题［2］：

变式1的证明实际上证明了上述命题条件的充分性，条件的必要性即为如下变式2.

下面给出证明，为了方便，不妨用shx、chx分别表示试题中的函数f（x），g（x）.

构造函数F（t）=shx-txchx-x（1-t），t∈R.

则⑨等价于：若F（t）>0对∀x>0成立，则t≤0；若F（t） <0对∀x>0成立，则

1.假设∃t0>0，使得F（t0）>0对∀x>0都能成立，则

∃t0>0，使得对∀x>0都能成立.

综上，变式2得证.

以上结论是经过了严格的数学演绎推理过程，还可以结合图像来验证和理解，笔者借助几何画板作出了F（t）的函数图像，由于F（t）=x（1-chx）t+shx-x是关于t的一次函数（其中t是自变量，x是参数），而且x在变化，于是F（t）表现为一簇单调递减的直线簇.由图像可观察到，当x从0慢慢增大时，F（t）的横截距从0.33（由于几何画板上无法显示无限小数，故不是慢慢减小至无限接近0处，通过数形结合，直观地说明了上述结论的正确性.因为毕竟涉及极限，故数字上不甚精确，但也能辅助我们理解和验证.至此，笔者先后采用了演绎推理和合情推理论证了变式2的结论.

这道高考题的变式1，虽结论较试题结论要好，但证明变式1要反复多次求导，若作为考题有重复考查之嫌；而变式2的证明超出了目前的中学内容范围，故试题采用了目前的形式是恰到好处的.但是作为解题研究，这道高考题给我们提供了很好的范例.波利亚说过，没有任何一个题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做.一个成熟教师应该能够挖掘问题的方方面面，通过拓展和延伸、类比和迁移、分解或重组、加强或减弱条件，互换题设条件和结论等等，设计出问题变式，而更有意义的是，把这种问题变式应用在解题教学中能够自然生成许多教学资源，学生会发现一道数学题目会如同一个纵横字谜游戏一样有趣，这种充满活力的思维练习能够有效刺激学生的求知欲，并且对提高学生的解题能力、推理论证能力、逻辑思维能力也是大有裨益的.

1.同济大学应用数学系.高等数学（第五版）上册［M］.北京：高等教育出版社，2002.

2.匡继昌.常用不等式（第四版）［M］.济南：山东科学技术出版社，2010.