实施教学拓展提升教学效益

☉江苏省海安县曲塘中学　徐成武

实施教学拓展提升教学效益

☉江苏省海安县曲塘中学徐成武

拓展探究是激发学生问题意识、培养学生创造能力的有效手段，高中数学教学中的拓展探究活动为学生理解问题、拓宽解题思维提供了较大的空间.通过思维活动的延伸与深入逐步培养学生的创新能力和情感能力，以及获得对于问题更为深入的认识，因此在教学活动中得到广泛的认可.本文就高中数学教学过程中关于拓展活动的几个方面略作探讨.

一、拓展问题层次，搭建思维桥梁

数学教学的过程，同时也是一种不断提出问题和解决问题的过程，教师在教学中，针对某个知识点或题型，适时、有效地利用学生分析问题后的资源和思维成果，进行深入的拓展、延伸，往往可以促进学生进一步的深入思考，探究问题的根源、本质，最大程度地将该类问题的价值最大化.

案例1设A、B的坐标分别为（-5，0）、（5，0）.直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-，求点M的轨迹方程.

这是人教A版选修2-1中的一道探究题.学生根据题目条件不难求出点M的轨迹是椭圆，其方程为1（x≠±5）.

若教师以此为契机进行拓展追问，常可激发学生的求知欲，积极性自然也会被调动起来.

学生通过动笔求解，发现曲线方程变成了双曲线

追问2：你发现曲线方程与斜率之积之间的关系了吗？

细心的同学就会发现a2、b2与斜率之积的关系，即

十九大领航新嫩江，新时期的工会工作就要体现新作为。嫩江县森林消防大队工会紧跟时代步伐，准确把握政治方向，为了实现构建全省县级扑火专业样板队的目标，在县总工会和大队党委的正确领导下，以森防工作为中心，切实改进工会自身建设,把“民主管理”作为加强和发挥工会作用的重要载体和平台，广大森防会员依法享有知情权、参与权和监督权，成为职工之家真正的主人,实现了森防工作和工会工作和谐发展的良好格局。

追问3：在追问2的基础上可得出什么结论？

结论1：设A、B的坐标分别为（-a，0）、（a，0）（或（0，-a）、（0，a）），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是

结论2：设A、B的坐标分别为（-a，0）、（a，0）（或（0，-a）、（0，a））.直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是则点M的轨迹是椭圆，其方程为则点M的轨迹是双曲线，其方程为

点评：针对这个基本问题的三个追问，利用了学生解题后的灵感，将问题引向纵深，提升了学生的思维品质，使得教师的教学不单单是传授书本知识，而是在问答之间发展了学生的技能，真正地提高了解题教学的效能.在学生顺利解决第一问的基础上进行开发利用，不断进行拓展、延伸，形成问题链，从而不断激活和拓展学生的思维，促进他们深入探究，成为提高教学效能的有效手段.

二、问题变式探究，拓展学生思维

在保持问题本质特征不变的情况下，迁移问题的非本质的属性，设计出一系列的变式问题，形成问题链.不同的变式设计可以提升学生的思维层次，培养学生思维的深刻性和创造性.

分析：本题求解的关键是将条件“对任意x1∈［0，1］，总存在x2∈［0，1］，使得f（x1）=g（x2）成立”转化为“y=f（x）（x∈［0，1］）的值域是y=g（x）（x∈［0，1］）的值域的子集”.难点在于对条件中的“任意”和“存在”这些关键词的正确理解，进而将问题转化为函数最值问题处理.本题难点在于对条件中的“任意”和“存在”这些关键词的准确理解.

解答完此题后，教师可针对该问题作如下的变式，以检验学生能否正确地应用这些的含义将问题进行等价转化

变式1：将问题改为“若对任意的x1∈［0，1］，总存在唯一的x2∈［0，1］，使得f（x1）=g（x2）成立”.

变式2：将问题改为“若对任意的x1∈［0，1］，总存在x2∈［0，1］，使得f（x1）≤g（x2）成立.”

分析：由题意，函数y=g（x）在［0，1］上的函数值不小于函数y=f（x）在x∈［0，1］的任意值即可，可转化为函数y=g（x）在［0，1］上的最大值大于等于函数y=f（x）在x∈［0，1］上的最大值.

变式3：将问题改为“若对任意的x1∈［0，1］，任意的x2∈［0，1］，都有f（x1）≤g（x2）成立”.

分析：题目变成恒成立问题，可转化为y=g（x）在［0，1］上的最小值大于等于y=f（x）在x∈［0，1］上的最大值.

点评：本题的三个变式题与原题从表面上看变化不大.但从解题思维上看，确有很大的差别.通过对学生进行形似质异问题训练，可使得学生能很好地把握问题本质，并提高数学教学的效率与效果.

三、解题思路发散，促进思维灵活

解题思路的拓展就是针对某一问题求解而形成的不同思维层次与水平的不同解法，一题多解是建立在对问题深入思考的结果之上的，也是对知识灵活性的一个检验.一题多解的教学对于培养学生的创新思维，构建知识网络能力有着至关重要的作用，能促进学生数学的思维能力达到最优化.

解法1：（正面求解，利用数量积公式）利用数量积的定义，由三角形为等边三角形且可知点M为三角形的重心，所以所以

点评：根据题目条件，判断出点M为三角形的重心，是问题求解的关键.利用重心性质定理可直接求出两向量的模长和夹角，进而问题得解.

点评：未知化已知是解题的常用策略.此类问题常借助向量加法与减法的三角形法则，可实现已知与未知的转化.

解法3：（几何问题代数化）坐标法是解答几何问题的有效手段，也体现了数与形之间的紧密结合.建立以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴的直角坐标系，则所以

点评：数形结合思想应用较多的是以形助数，这只是数形结合的一个层面.另一个层面就是以数解形，而坐标法就是最好的体现.

点评：一题多解反映了对某一问题认知的思维的不同层次与水平，这些解法中除了一般的解法，难免有一些特殊的解法，其中还会产生一些超出传统思维的解法，甚至出现跨越学科知识的思路，因此解题思路的拓展教学有助于提高学生对知识的综合应用能力，增强对知识应用的灵活性.

以上对于数学教学中三个方面的拓展有助于提升学生认知的创造性和发散性，提高教学的质量.在教学中，应当进一步地加大对问题的研究力度，设计颇具开放性的问题，一题多解，一题多变，将学生置于探索、发现的思维情景中，激发学生发散性思维，培养其勇于探索的精神.