三角函数教学中几个疑难问题的处理

☉山东省肥城市第一高级中学　孙衍亮

三角函数教学中几个疑难问题的处理

☉山东省肥城市第一高级中学孙衍亮

在初中时学生已经接触过三角的基础内容，但所涉及的知识主要用于直角三角形中，到高中后角的范围扩充到了任意角，使学生有应接不暇之感.而部分教师在处理某些问题时，并没有站在学生的立场上来考虑，增加了学生的困惑，进而产生学习的障碍.笔者就教学中学生常遇到的几个疑难问题进行简洁处理，希望对同学们学习有所帮助.

一、已知α所在象限，探究所在象限

例1（人教A版必修4第11页练习）已知α是第一象限角，那么

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角

此类问题在课堂讲解时，部分教师直接给出八卦图式（此处略）的处理方式，让学生只知其然，不知所以然，解题时并不能灵活应用.其实对此问题的处理，我们完全可以从学生易接受的视角解决.

在某次公开课上，对此问题的处理，主讲教师的处理方式是给出图表让学生记忆，后又提议根据相应三角函数的图像比较容易记忆这类特殊角的三角函数值.可是我们知道是先有五点，后有图像，此法有本末倒置之嫌，并不可取.

其实对此问题可从学生已经理解的知识基础上来处理.

对于0，即角的终边与始边重合，落在x轴正轴上，此时y=0，r2=x2+02=x2，所以r=x.因此

此种做法，让学生明白了问题的来龙去脉，接受起来也就更加顺利自然了.

三、对诱导公式的处理

以上，笔者将问题的探究完全交给学生来处理，教师只充当学生学习的引导者，使学生不仅学到了知识，而且还提高了对问题分析的能力.

四、对三角函数图像和性质的教学处理

在讲解此部分内容时，部分教师严格按照教材中的推导途径进行教学，对学生的理解能力提出了较高的要求，但并不利于学生对知识的掌握.笔者在处理此内容时，从学生已经熟悉的基本初等函数的性质入手，产生了良好的教学效果.过程如下（以y=sinx为例）：

师：我们在必修1中已经学习过指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数，学习这些函数时，我们都学习了函数的哪些性质？

生：图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性.

师：正弦函数也是函数，那么它是否具有相关的性质呢？

生：具有，我们前面已经知道了正弦函数是周期函数，周期为2π.因为x为任意角，所以函数的定义域为R.由诱导公式sin（－x）=sinx，即满足奇函数的定义f（-x）= f（x），所以y=sinx为奇函数，因此其图像关于原点对称.由|y|≤r，可知正弦函数的值域是［-1，1］．

图1

师：非常精彩，那么正弦函数的单调性如何？

生：在第一、四象限内，随着角α的增大，正弦线MP也随之增大．在第二、三象限内，随着角α的增大，正弦线MP却随之减少．因此（k∈Z）上递增，在上递减，在上递增.

师：我们已经做了充足的准备工作，那么如何画正弦函数的图像？

生：由于正弦函数的周期是2π，因此只要画出它在［0，2π］上的图像.再通过取特殊角，利用描点法来画.

因为这类角的三角函数值是无理数.

师：请一名学生到黑板上画图像，其他同学在下面画.

笔者从学生已知的三角函数的简单性质入手，借助三角函数线研究正弦函数的单调性、值域等性质，先让学生从理性上认识正弦曲线的变化规律，然后让学生用五点法画图.没有按照以往“先作函数图像，再观察图像总结性质”的套路展开教学活动.

五、解题思路的寻找

在某些问题的讲解中，部分老师往往是直接给出解题思路，学生虽然也听明白了，但在处理类似问题时仍感无从下手.因此我们在讲解此类问题时，应从解题思路的寻找上多下功夫，不仅要告诉学生“这样做”，而且要说明“为什么这样做”.

师：请同学们观察一下，已知条件与所求结论有什么关系？

生：已知条件是sinα与cosα和的形式，所求为积的形式与差的形式.

师：解题的过程，也可称之为转化的过程，即将未知化已知或将已知化未知.先来看第一个问题，如何建立已知与未知之间的关系.

生：将已知条件两边平方，即可出现sinα与cosα乘积的形式，即（sinα+cosα）2=⇒sin2α+2sinαcosα+cos2α=，又sin2α+cos2α=1，所以sinαcosα=

师：第二问如何处理？

生：这次我们可以对结论进行两边平方处理，也转化为乘积的形式，就可求出结论.即（cosα－sinα）2=cos2α－再开方可得

师：通常情况如果求出两种结果，需要我们进行检验，看是否都满足题意，那么是否都符合题目条件呢？

生：α∈（0，π），正弦均为正，余弦可能为正，也可能为负，故两种情况应该都符合条件.

师：好，那我们来回顾一下前面所讲内容，如何判断象限角的三角函数值的符号？

生：（1）利用三角函数的定义；

（2）利用三角函数线.

师：还有没有补充？

生：还可以利用cosαsinα的符号来判断，若为正，则符号相同，若为负，则符号相反.

师：那么本题如何来判断？

生：（恍然大悟）因为我们第一问已经求出sinαcosα=故sinα与cosα异号，又α∈（0，π），所以α为第二象限角，cosα<0，sinα>0，所以cosα－sinα<0，故正确答案为cosα－sinα=－

通过对学生的引导，使其掌握的不仅是这道题的解题方法，而是一类题的解题思路.

综上，是笔者对三角函数教学中的几个疑难问题的处理方法，不足之处请广大同行指正.希望教师们在教学中不断地进行尝试，探索出适合学生的教学方法.