对解题思路自然性的思考——以2015年广东高考数列题为引例

2016-12-07浙江省绍兴市柯桥区豫才中学

中学数学杂志 2016年1期

☉浙江省绍兴市柯桥区豫才中学　赵　辉

☉浙江省绍兴市柯桥区豫才中学赵辉

对于某些数学问题的解答，部分教师在讲解时，只是直接给出解题过程，并没有对思路的产生进行分析，造成的结果是学生只知其然不知所以然，再遇到相似问题时仍无从入手，甚至有些高考试题的“标准答案”，我们看后都有莫名其妙之感.下面以2015年广东高考数列解答题为引例，就其解题思路的产生提几点建议，供大家们复习参考.

例1（2015年广东卷）数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+

（Ⅰ）求的通项公式；（改编）

（Ⅱ）求数列前项和；

高考对数列问题的考查常以压轴题或把关题的形式出现，考查内容主要涉及求数列通项公式、求前n项和以及数列不等式的证明.此类问题题型多样、方法灵活多变，能有效考查考生归纳推理、逻辑思维等能力，因此备受命题人的关注.

一、把握问题的通性通法，直接寻找解题思路

求数列通项公式是高考常考题型之一，针对题目给出的条件不同，求解的方法也有所不同.若条件中给出数列的前n项和，如Sn=f（n）或Sn=f（an）等，则利用an=Sn-Sn-1（n≥2）求解.本题所给条件“a1+2a2+3a3+…+nan=4虽然不同于上述两种类型，但其仍为若干项和的形式，因此亦可利用“an=Sn-Sn-1（n≥2）”进行求解.

解析：（Ⅰ）当n≥2时，设Mn=a1+2a2+3a3+…+nan=4-则

Mn-1=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，故

评析：除此之外求通项公式问题还包括给出递推关系型，主要解题思路是构造法，即将其构造为特殊数列——等差或等比数列进行求解.

对于数列求和问题，针对所给的不同类型，主要有如下几种方法：

（1）公式法：运用一些常见的公式（如等差、等比数列求和公式，正整数平方、立方求和公式）求数列前n项和.本题数列{an}为等比数列，故可以直接利用等比数列求和公式求和.

（2）分组求和法：对一个既不是等差数列，也不是等比数列的数列，如果能将这个数列进行适当拆分，使得可分成几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和再将其合并，可采用分组求和法.

那么比如说，有的时候看了一些具有社会学、民俗学价值的小说以后是有些体会的。最近因为搞鸳鸯蝴蝶派，我就看了张恨水的《春明外史》，这本书100万字，看完之后我当然对张恨水也有一个具体的了解，而且得到很大的收获。如果现在让我讲鲁迅《社戏》的前半篇，那么这个一百万字就给我起了一种民俗学的参考作用，因为它讲北京的戏院讲得太详细了，写各种各样背景的剧院，而这种剧场以前在我的脑子里是非常空泛的。你如果去读茅盾的《幻灭》《动摇》《追求》，你读《动摇》的时候对大革命这一段时期的生活就会比较具体化，不读的话就是很抽象的在讲大革命。

（3）裂项相消法：如果一个数列的每项都能拆成两项之差，使得在求和过程中除首末两项或附近几项外，其余各项都先后抵消，可采用裂项相消法.

（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，可采用错位相减法，即对形如{anbn}的数列，其中{an}是等差数列，而{bn}是等比数列（其中公比不为1），则可在求和等式两边同乘数列{bn}的公比或公比的倒数，然后两等式错位相减求解.

（5）倒序相加法：如果数列的首末两项的和与首末两项等距离的两项的和相等，可采用倒序相加法求数列前n项和.（等差数列求和公式可用此法推导）