对一道全国高中数学联赛题的再探究

☉重庆市潼南中学校　赖雪洪

对一道全国高中数学联赛题的再探究

☉重庆市潼南中学校赖雪洪

近日，笔者拜读了焦宇老师的文章《一道全国高中数学联赛题的探究》（下称文1），读后受益匪浅.同时，对文1也作了一些思考，算作是对焦老师文章的一个呼应，以及与焦老师的商榷.

一、赛题展示

题目（2014年全国高中数学联赛B卷第11题）如图1所示，椭圆Γ：是椭圆Γ上的两点，直线l1：x=-2，l2：y=-1.P（x0，y0）（x0>0，y0>0）是椭圆Γ上的一个动点，l3是过点P且与椭圆Γ相切的直线，C、D、E分别是直线l1与l2、l2与l3、l1与l3的交点.求证：三条直线AD、BE、CP共点.

图1

二、解法探究

焦老师在文1中给出了4种证明方法，下面笔者再给出一种简单易懂的方法.

思路：利用椭圆参数方程及塞瓦定理的逆定理证明.

证明：设P（2cosα，sinα），则直线l3的方程为sinα·y=1.

则易得C、D、E三点的坐标分别为（-2，-1），

根据塞瓦定理的逆定理，知三条直线AD、BE、CP共点.

三、命题推广

焦老师在文1的最后对原赛题进行了推广，得到两个结论.

结论2已知圆W：x2+y2=r2（r>0），直线l1：x=-r、l2：y= -r与圆W分别相切于点A、B，动直线l3与圆W相切于点P（不同于点A、B）.若直线l1与l2、l2与l3、l3与l1分别相交于点C、D、E，则三条直线AD、BE、CP共点.

文章最后焦老师又指出：“结论对于双曲线、抛物线都不适用.”这种说法是不全面的，焦老师仅仅考虑了直线l1、l2与坐标轴垂直的情形，实质上该赛题可以看作是葛尔刚（Gergonne）点（连接三角形的顶点和内切圆与对边切点的直线交于一点，此点称为葛尔刚点）在圆锥曲线中的推广.

在给出推广结论和证明之前，我们先介绍一下圆锥曲线的阿基米德三角形及其性质，并证明这个性质.

圆锥曲线的阿基米德三角形：由圆锥曲线的弦及过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为圆锥曲线的阿基米德三角形.

椭圆（双曲线）的阿基米德三角形性质：若△PAB为椭圆（双曲线）的阿基米德三角形，则OP平分线段AB（其中O为坐标原点）.

抛物线的阿基米德三角形性质：若△PAB为抛物线的阿基米德三角形，过P作抛物线对称轴的平行线，则此平行线平分线段AB.

由于证明过程类似，笔者仅给出椭圆的阿基米德三角形性质的证明.

图2

①当x0=0时，由椭圆对称性易知结论成立；

②当x0≠0时，设A（x1，y1），B（x2， y2），则切点弦AB的方程为

综合①、②知，OP平分线段AB.

定理1若△ABC的三边AB、BC、CA（或其延长线）与椭圆分别相切于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点.

这里仅证△ABC的内切椭圆情形，外切椭圆情形类似可证.

证明：如图3所示，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF、 DE、EF、FD.

图3

根据塞瓦定理的逆定理知，AE、BF、CD三线共点.

定理2若△ABC的三边AB、BC、CA（或其延长线）与双曲线分别相切于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点.

证明过程类似定理1，此处从略.

定理3若△ABC的三边AB、BC、CA（或其延长线）与抛物线分别相切于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点.

图4

证明：如图4所示，过点A、B、C作x轴的平行线，分别交DF于点P、M、N.

由抛物线的阿基米德三角形性质知，AP平分线段DF，BM平分线段DE，CN平分线段EF.

由椭圆的阿基米德三角形性质知，直线OA平分线段FD，直线OB平分线段DE，直线OC平分线段EF.

根据塞瓦定理的逆定理知，AE、BF、CD三线共点.

1.焦宇.一道全国高中数学联赛题的探究［J］.中学数学教学参考（上），2015（3）.

2.林国夫.圆锥曲线中的切点弦及其方程［J］.数学通讯（上），2011（1-2）.