均值不等式交汇考查——由形的相似说起

☉浙江省嵊州市崇仁中学方　杜　军

均值不等式交汇考查——由形的相似说起

☉浙江省嵊州市崇仁中学方杜军

在知识点的交汇处命题是高考命题的常见形式.那么知识点之间满足怎样的联系才具有交汇性是考生关注的问题.如果两个知识点从形式上来看具有相似之处，则它们就具备了交汇的初级条件，再适当变化就可命制出新颖的考题.

均值不等式：

（2）a2+b2≥2ab⇔ab≤（a、b∈R），当且仅当a=b时，“=”号成立.

这是均值不等式两种重要的形式，应用其解题时要注意适用条件，即“一正、二定、三相等”.本文从形的相似性入手，以均值不等式的交汇问题为例，就其交汇视角展开探究.

一、与等差数列的交汇

例1（2015年北京卷）设{an}是等差数列，则下列结论中正确的是（）.

A．若a1+a2>0，则a2+a3>0

B．若a1+a3<0，则a1+a2<0

C．若0

D．若a1<0，则（a2－a1）（a2－a3）>0

解析：利用等差中项得结合均值定理可判断选项C正确．

从形式上看等差中项与均值不等式（1）有一定的相似性，因此成为交汇的视角.

二、与运算法则的交汇

例2（2013年福建卷）若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是（）.

A．［0，2］B．［－2，0］C．［－2，＋∞）D．（－∞，－2］

解析：因为2x＋2y≥（当且仅当2x＝ 2y时等号成立），所以解得x＋ y≤－2，故选D.

点评：本题将定值隐藏于幂的运算法则中，即同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，借此将定值显现出来.

三、与椭圆的交汇

例3已知M为椭圆=1上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左右焦点，正数数列|MF1|，m，|MF2|成等比数列，则m的最大值为___________.

解析：由等比数列定义知m=又由椭圆定义得|MF1|+|MF2|=8为定值，所以|MF1|·|MF2|≤当且仅当|MF1|=|MF2|=4时，等号成立.故m的最大值为4.

点评：椭圆的定义：到两定点距离之和为定值，具备和为定值，积最大的条件，因此存在与均值不等式交汇命题的依托.

四、与余弦定理的交汇

例4（2012年安徽卷理）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题中正确的是________（写出所有正确命题的编号）．

①若ab＞c2，则②若a＋b＞2c，则

③若a3＋b3＝c3，则④若（a＋b）c＜2ab，则

⑤若（a2＋b2）c2＜2a2b2，则

解析：①由ab＞c2，得－c2＞－ab，由余弦定理可知cosC＝因为C∈（0，π），函数y＝cosx在（0，π）上是减函数，所以故①正确．

③若C是直角或钝角，则a2＋b2≤c2，即又函数y＝ax（0＜a＜1）在R上是减函数，所以与a3＋b3＝c3矛盾，所以假设不成立，所以故③正确．

⑤因为（a2＋b2）c2＜2a2b2，所以即 ab＞c2，转化为命题①，故⑤错误．

答案：①②③

点评：余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA，与均值不等式（2）高度相似，与均值不等式的交汇自然和谐.在解题中，通过配凑，直接使用了均值不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R）到达了求最值的目的.

五、与勾股定理的交汇

例5（2014年四川卷）设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则|PA|·|PB|的最大值是________．

解析：由题意可知，定点A（0，0），B（1，3），且两条直线互相垂直，则其交点P（x，y）落在以AB为直径的圆周上，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA||PB|＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立．

点评：勾股定理：在直角三角形ABC中，a2+b2=c2.通过挖掘两条直线的关系，知两直线互相垂直，利用勾股定理使定值显现出来，进而与均值不等式建立关联.

六、与直线方程的交汇

例6设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．

点评：点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=具有均值不等式的形式，因此成为交汇命题的视角.

七、与圆的交汇

图1

解析：画出可行域，如图1所示.

M所表示的区域是半径为1在x轴上方的半圆，N所表示的区域是半圆的内接矩形，在M内随机取一个点，求这个点落在N内的概率的最大值，即求矩形面积的最大值.

点评：本题从表面看为简单的几何概型问题，但求目标区域面积时，涉及面积的最大值，进而转化为均值不等式应用问题.本题求解中将t放入根号中变为t2，使定值得以顺利出现.另外在变形中应注意等价性，如：已知－3

在知识网络的交汇处设计试题，强调知识的综合，是近几年各类命题改革点，特别反复强调的重要理念之一．从以上各例可以看出，基本不等式是中学数学知识的一个重要交汇点，它和多项内容交叉渗透，自然地整合在一起，应引起我们重视．备考复习中要善于挖掘不同知识点之间的关联，即可游刃有余地处理此类问题.