用几何方法求圆锥曲线切线的斜率及其拓展

☉浙江省宁波市鄞州区同济中学　张文杰

用几何方法求圆锥曲线切线的斜率及其拓展

☉浙江省宁波市鄞州区同济中学张文杰

引言：求圆锥曲线切线的斜率是一个重要知识点，也是高考的一个热点.2014年浙江高考理科卷第21题就涉及了椭圆的切线，而在2015年的高考前笔者通过研究分析就预测文科卷中应该涉及抛物线的切线，果然文科卷中就涉及了抛物线和圆的切线问题，由此引起了笔者更多的关注.

叶圣陶先生曾说：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受到益实，还要靠教师的善于运用.”教师在实际教学中，合理使用资源，充分加以利用，静态的课本就变得鲜活起来，处处充满了数学独特的魅力.［1］于是笔者又重新研究了课本选修1-1，并对其中的拓展知识产生了浓厚的兴趣，心中存有念想，结合圆锥曲线中的光学特征用代数法证明了抛物线中过焦点直线经抛物面反射后为平行光线，也作了大量抛物线中的几何画板，得出了一些结论.以此尝试作出了一份教案，大致如下：

一、引入

我们知道求圆锥曲线中切线的斜率一般性方法有：联立方程法，导数法，切线方程法.

那么除此之外还有没有其他方法呢？笔者从书中的拓展——圆锥曲线中的光学性质及其原理得到了一些启发.手电筒、聚光灯、太阳灶，这些都是借助了抛物面的反射原理，如果把光源放置抛物面的焦点位置，那么经抛物面反射后的光线为平行光线（应用于手电筒、聚光灯）；反之将抛物面置于正对平行光下那么平行光经抛物面反射后的光都会汇集经过焦点（应用于太阳灶）.

由此从两个实例中提炼出——反射，继而联系我们所熟知的镜面反射（入射光线关于法线的对称直线即为反射光线）.那么抛物线是否也满足镜面反射？镜面又在哪？

二、证明书中光学原理

猜测镜面为入射点处的切线.运用几何画板，作出A点处的切线，并拖动几何画板，发现每一点处的切线即为镜面；而焦点发出的光经抛物面反射后也确实为平行的光线.这样就直观地验证了课本中的光学原理.（当然这个原理也能用代数证明）

联系定义拓展原理，得出求切线的另一个途径——几何方法.

在此基础上再联系抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹.再探几何画板：

作出A点在准线上的投影D点，由定义可得AD=AF，三角形ADF始终为等腰三角形，那么DF始终与切线垂直.这样我们就可以藉由直线DF的斜率，利用负倒数直接求得抛物线的切线斜率，同时应用这个方法也能实现抛物线切线的尺规作图.

这样就可得到一般性的做法：由已知的入射点A，求出点D坐标，然后求出点D和F连线的斜率，最后求得切线斜率.

在本题中，若A（x0，y0），则于是kDF=最终切线斜率为

三、类比推广

下面我们继续类比推广一下，这个作法能应用到椭圆和双曲线中吗？

还是先从课本中给出的光学性质入手：我们已经从书本得知椭圆中的光学特征为从一个焦点出发的光线经椭圆面反射后经过另一个焦点.那么椭圆是否满足镜面反射？切线又可怎样求？我们通过几何画板验证一下.

同样作出A点处的切线，并拖动A点，从画板中我们发现镜面同样为每个入射点处的切线，同样结合椭圆定义，我们先作出以F2为圆心，距离和（2a）为半径的大圆，以及A为圆心，F1A为半径的小圆，发现两圆始终内切，只要写出两圆方程联立即可求得点D，那么DF1的中垂线即为切线.

继续看双曲线的光学特征：反射光线的反向延长线穿过另一个焦点.

拖动A点，镜面同样为每一点处的切线，结合定义作以F1为圆心，距离差（2a）为半径的圆，以及A为圆心，AF2为半径的圆，此时为两外切圆联立求得D点.同理求得切线斜率.

这样我们就实现了用几何方法求圆锥曲线切线的斜率；同时运用这一方法也完成了圆锥曲线切线的尺规作图.

四、作法应用，证明相关结论

在作法中我们发现三角形ADF为等腰三角形，再联系焦点弦问题，我们延长AF交抛物线于B点，过B作BC平行于x轴交A点处的法线于C点，根据图像易知三角形ABC为等腰三角形，又由光学特征BC为入射点B处的反射光线，那么由镜面知识知，∠ABE=∠CBE，则BE为B点处的法线，此时过B作BE的垂线BH即为B点处的切线.发现四边形AHBE为矩形，这样就得到一个很明显的结论：切线AH与切线BH垂直，即过焦点弦两交点作抛物线的切线，两切线垂直.

如果我们将中间过程稍作调整，A点处的切线与准线先交于H点，连接BH，由抛物线的定义我们利用准线知识可易得∠AHB为直角，又AH∥BE，则BH⊥BE，即BH为B点处的切线，由此便用几何方法证明了：过焦点弦两交点作抛物线的切线，两切线的交点在准线上.

五、利用相关性质，改进几何方法

数学中的许多结果往往在意料之外，又在情理之中，可以让我们不断体验成功的喜悦，满足心灵深处强烈的探求欲望.［2］有了上述两个成果之后我们继续探索图像，如果连接HF，很自然地发现HF与AB垂直，应用反射原理易得△ADH≌△AFH，于是HF⊥AB得证.再利用这个结论我们反用一下便可得到一个求切线斜率、画切线的一个改进方案：

过F作焦点弦AB的垂线，交准线于H，连接AH，BH即为切线，斜率也可相应求得.应用这个方法使得计算和尺规作图来得更加方便，此时我们的心情更为舒爽.

那么这一新的作法能用到椭圆和双曲线上么？

继续类比，在椭圆的焦点弦中，我们应用原理作出两条切线，发现两切线交点同样落于准线上，并且我们发现另一特征EF1垂直于焦点弦AB.

同理，先过F1作AB的垂线EF1，交准线于E，连接AE，BE，即为切线，同时切线斜率也可相应求得.

同理，在双曲线中也可过F2作焦点弦AB的垂线，交双曲线准线于C点，连接AC，BC即为切线.

六、操作反用，绘制圆锥曲线与手工剪纸的原理

继续运用数学的研究方法，反用又有什么效果？

先来看下抛物线：

取一定点，称为原象，由作法得知，象的集合为一定直线，拖动象点，发现切线所包络的图形为一抛物线.

再看椭圆：

同样取一定点，称之原象，由作法知，象的集合为一大圆，拖动象点，发现切线包络得到一个椭圆.

最后双曲线：

相对椭圆的作法为圆和圆外一定点，拖动象点，得到一个双曲线.

这样我们就得到了作圆锥曲线的另一个途径：用切线包络圆锥曲线，同时这个方法也可用于手工剪纸上.

七、学以致用，应用生活——变焦手电筒的探究

数学来源于生活，又高于生活，又服务生活，那么现在我们来对照下生活，看下变焦手电筒的原理.变焦手电筒其实是利用改变光源的位置，达到不同的效果.

有时中间特别亮，有时又会出现像图中这样的光环效果，下面我们通过抛物线的反射原理再来验证一下.

我们把光源置于焦点的右侧，那么照射的范围是小了，但是集中了，所以更亮.

反之把光源置于焦点左侧，那么照射范围大了，但是中间部分老是照不到，所以照亮的地方会形成一个空心的圆.

信息技术作为理想的数学教学情境设计工具，可以运用演示动画进行图文并茂的情境教学，教师可以利用自己的学科专业知识，运用动态模拟轨迹的形成过程来描述复杂抽象的数学对象关系，使学生更容易地理解数学抽象知识的形成和发展过程，提高对数学知识的感性认识，从而激发学习兴趣.［3］笔者于近期恰巧接到了一个微课的任务，便一拍即合，刚好将上述拓展制作成一节微课，效果甚佳.

八、总结反思

（1）课本中的拓展知识可以在教学中再打磨包装一下，既可以把学过的知识加以应用，又能拓展知识，以及数学思想的渗透.

（2）几何画板等工具的应用可以帮助我们更直观更方便地了解一些特征和性质，同时继续应用，既能拓展知识，也能发现一些新的命题和结论，是探究课的一个有力工具，是现代教学的一个强有力的帮手.

（3）微课顺应时代的发展而产生，能利用碎片化的时间拓展学生知识，也能加强深化知识，是信息化教学的一个有效形式.笔者也是在制作中不断得到启发，乐于其中.

1.杨辉军，张儒玲.整合课本资源，彰显学科魅力［J］.中学数学（上），2015（3）.

2.王生.走近数学大师感悟数学文化［J］.高中数学教与学，2014（6）.

3.李志成.基于PCK浅谈信息技术在高中数学课堂中的应用［J］.中学数学（上），2015（4）.