注重衔接，把握整体——由“直线与圆的位置关系”一课引发的思考

☉江苏省如东县马塘中学　杨小强

注重衔接，把握整体——由“直线与圆的位置关系”一课引发的思考

☉江苏省如东县马塘中学杨小强

“直线与圆的位置关系”是比较重要的一节内容，除了解决直线与圆的三种位置关系，还肩负着形成解析几何的思想方法的重任；“直线与圆的位置关系”也是比较“特殊”的一节内容，因为初中也有类似的章节，从而使本节内容的“新鲜度”打了折扣.如何既能完成本节内容的教学目标，又能凸显新意是广大教师不得不思考的问题.

一、教材的再认识

对于本节内容教材在编排上并没有进行特殊的对待，但作为教师不能够停留在对教材表面的处理上，而是要深入地钻研教材，理解教材，从而对教材有新的认识.

1.突出高中的特点

初中平面几何中也有本节内容，给出利用圆心到直线的距离d与圆半径r之间的大小关系来判断直线与圆位置关系的方法.但初中是先“构造直角三角形”，把d转化为直角三角形的高，然后利用“等面积法”进行求解.初中的方法“几何”味道比较浓，而高中重点要体现的是“代数”思想.即通过建系，把几何问题代数化.

2.两种方法的解读

有两种方法可以判断直线与圆的位置关系，一种是通过比较d与r的大小关系来判定，这种方法通常称为几何法；另一种是把圆的方程与直线的方程联立，根据它们之间的特征方程的根的个数来判定，这种方法称为代数法.但实际上，所谓的几何法本质上也是“代数法”，只是它选择了距离“d”和半径“r”这两个几何量作为判断的依据，求距离“d”时还是用到了点到直线的距离公式，而这个公式依赖于坐标系的建立，充满着代数的色彩.

3.方法的灵活选择

在判断直线与圆的位置关系、求圆的切线和弦长问题时，几何法往往比代数法快捷，因此，几何法往往成为了教师首先推崇的方法，而忽视代数法.但几何法不具有一般性，在后续圆锥曲线与直线的位置关系中，代数法才是主角.因此，两种方法都要兼顾，让学生灵活选择运用.

4.深层的数学思想

几何法为什么会比代数法快捷，这是由它们选择的“特征量”所决定的.几何法选择的是“距离”这一几何量作为判断的依据，而代数法选择的是“交点”这个代数量作为判断依据，“特征量”决定了运算难易程度.这也给了我们启示：在几何位置关系的研究中，选择合适的特征量尤为关键.

二、教学过程

由于在初中学生已经知道直线与圆的三种位置关系及判定方法，因此，高中的教学起点可以适当提高.

1.创设情境，经历建模

问题1：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径长为40km的圆形区域.已知小岛中心位于轮船正西30km处，港口位于小岛中心正北60km处.请问：轮船在沿直线开往港口的过程中会不会有触礁的危险？

图1

分析：教师给出上述问题，让学生尝试用自己的方法解决.学生容易发现这个问题实际上就是考查直线与圆的位置关系.这类问题，初中也曾接触过，学生能够用以前学过的知识加以解决.如图1所示，设圆心为O，轮船所在的位置为A，港口为B，连接OA、OB，构造直角三角形OAB.设△OAB的高为d，则d==20<40，所以轮船会有触礁的危险.

教师组织学生回顾直线与圆的位置关系的判定方法：

图2

学生采用的是初中平面几何的求解方法，还有没有其他方法求d呢？教师提示学生能不能利用解析几何的方法求解.于是，学生得到了第二种方法.如图2所示，以圆心为原点建立平面直角坐标系，取10km为单位长度.易得圆和直线的方程分别为则所以直线与圆相交，即轮船有触礁的危险.

通过比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系外，还有没其他方法也可以用来判定直线与圆的位置关系呢？利用直线与圆的交点个数也能判断，于是就引出了代数法：

点评：以生活情境为载体，既进行了复习回顾，又起到了引出新知的作用.在教学时注重初高中知识的衔接，在学生原有认知的基础上，通过启发引导，让学生经历建模的过程，体会“几何问题代数化”的解析几何的基本思想.

2.变换情境，灵活运用

问题2：若轮船沿直线AB航行，它所经历的“危险区域”路线有多长？

分析：如图3所示，设直线AB与圆分别交于C、D两点，所谓“危险区域”路线实际上就是求弦CD的长度.判定直线与圆的位置关系有两种方法：代数法与几何法，因此求弦CD也有两种方法.教师要求学生用两种方法加以解决.

图3

在学生认识中，要求CD的长度，首先要求出C、D的坐标，然后利用两点间的距离公式求解，但方程的根并不好求，这种方法显然太烦琐.

通过比较，几何法远比代数法快捷.

问题3：若轮船到达港口后，要从港口返回，请问：怎么走才能避开礁区（航行路线为直线）？

分析：此问题实际上归结为求过B点的圆的切线，只要船的航行路线所在直线的倾斜角大于这条切线，船就不会有触礁的危险.

设圆的切线方程为y=kx+6，则求切线也有两种方法.

代数法虽然繁点，但也不失是一种好的方法.当然，几何法的优越性还是难以超越的.

点评：通过生活情境的变换，把直线与圆的三种位置关系紧密地串联起来，让学生感受对立统一的哲学观点.在解决问题的过程中，始终围绕着两种方法进行，通过相互比较，使学生逐步领会两种方法的特点与联系，学会正确地选择合适的方法.通过把方程的解的个数问题转化为直线与圆的交点个数，以及对代数结果的几何分析，实现从数到形的转化，可以促使学生的数学思维从单一到复合，从表层到深层的发展和提升.

3.回归理论，提炼升华

前面几个问题的解决体现了“数学源于生活而又应用于生活”的观点.但数学是思维的体操，最终还要回归抽象，回归理论.具体问题已解决了，那么纯粹的数学问题，学生能不能进行分析和解答呢？

问题4：已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，判断直线与圆的位置关系.

分析：通过前面几个问题的解决，学生发现几何法总体上比代数法优越.于是，几何法变成了首选的方法.

现在，两种方法都遇到了困难，但相比而言几何法已经列出了d的表达式，如果能够求出d的取值范围的话，也是解决问题的一种思路.

利用函数的思想，可求得d的最值，然后再与半径比较大小，学生的思维又上升了一个层次.但这种方法还是比较繁杂，有没有更加简单的方法呢？

观察直线方程（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，发现它含有参数m，对于这样的直线往往是过某一定点的.

点评：通过制造思维上的障碍，再次激活学生的求知欲；通过不断的尝试，最终找到问题的突破口，这有助于学生思维能力的提升.同时，在解题过程中让学生体会选择合适的“特征量”对解决问题至关重要，比如，选择距离和交点为特征量都比较烦琐，但以直线的“定点”为特征量，问题就迎刃而解.

三、教学反思

1.注重知识衔接

奥苏伯尔的意义学习理论指出有意义的学习过程就是原有知识同化新知识的过程.一方面初高中数学的衔接知识点有很多，如函数、平面几何与立体几何相关知识等.高中后，这些旧知识有的研究范围扩大了，有的加深了，有些在初中成立的结论到高中可能不成立；另一方面由于受初中学生接受能力的限制，高中数学中有些概念，在初中课本中出现时带有很大的局限性，初中教师对那些概念的讲解仅限于初中阶段的理解，由此造成了部分学生受初中思维定势的影响，对新提法视而不见、充耳不闻，这严重影响了知识的延伸和扩展.因此，教师首先要熟悉初中教材，按学生的心理发展及认知规律，在内容的处理上适当沿用初中教师的教法，做好衔接知识点的过渡；然后，在引入新课题时，要对衔接部分的知识点在初中基础上加深拓宽，进而有机地把教学前后联系起来.

2.把握数学整体性

数学教学要注重数学的整体性.这种整体性一方面体现数学的本身，即数学概念及其反映的数学思想方法的一体性和各部分内容的有机联系；另一方面体现在学生的学习过程，即学生的学习是心智、情感、心灵、生活意义等获得过程，是一个将知识、技能和态度协调整合的过程，并不是简单地获得一些被分解、孤立的知识“片断”.把握数学的整体性，才能有准确的教学目标，才能讲清楚知识的来龙去脉，进而揭示数学的本质.本课在探究直线与圆的位置关系中，不仅做到了对两种方法的精彩诠释与比较，并且使学生意识到选择“合适特征量”对于简化运算的重要性，这种意识对于后续圆锥曲线的学习至关重要.