基于目标矩阵的高中数学教材分析——以“两角差的余弦公式”课题为例

☉华中师范大学数学与统计学院　黄丹玲

☉华中师范大学数学与统计学院　徐章韬

基于目标矩阵的高中数学教材分析——以“两角差的余弦公式”课题为例

☉华中师范大学数学与统计学院黄丹玲

☉华中师范大学数学与统计学院徐章韬

一、从一个现象说起

“两角差的余弦公式”课题是高中数学必修4的内容，也是三角恒等变换的起始内容，在人教版教材中，它被安排在三角函数和平面向量之后学习，而在传统数学课堂中教师也往往按照这条主线依次进行教学，并未做什么变化.但近日笔者发现，有些教师将“三角函数的诱导公式”这一部分内容放在三角恒等变换之后进行教学，教师利用三角恒等变换的各种公式直接推导出诱导公式，从而避免了部分学生对教材中利用三角函数线来推导诱导公式的方法难以消化和理解的难题，也帮助学生理解和记忆了有关三角函数的各种公式.如此看来，这种教学方式似乎更加有利于提高教学效果，但采用这样的教学方式又需要怎样的前提条件和注意事项呢？接下来，笔者就对该课题进行教材分析，望借此得出结论与大家一起探讨学习.

二、有关教材分析

教材是为了实现一定的教学目标，将构成教材的各种要素，以及它们之间的相互关系所构成的一种系统.而在这个教材系统中，各要素之间的逻辑关系显得尤为重要，我们将这种关系称为学习的层级关系或要素间的形成关系，它决定了整个教材的层级结构.教材分析是指对于给定的教材，教师在教学中，应通过对教学内容的分析，找出教材的层级结构，即找出构成教材的要素及其相互间的层级关系（形成关系），以及根据所找出的层级结构对教学内容进行序列化.

教材分析的目的不是让每个人得出相同的结果，相反，它依据教师的教材观，以一定的方法向教师展现一定的内容或传达一定的信息，以期望对教师的实际教学工作能提供有效的帮助.教师对教材的分析是教师备课中的一项重要工作，教师在编写教案时，总要先依据教学计划确定教学目的，然后对教材和学情进行透彻的分析，这之后才能继续编写教学过程，完成整个教学设计.因此，教材分析是教师备好课、上好课、达到预期的教学目的和出色地完成教学任务的重要基础.同时，由于教材分析是对教材整体性、客观性的把握，是教师的创造性劳动，需要教师拥有系统化的知识和丰富的实践经验，因此，教材分析也是对教师教学能力和创造能力的一种体现.

由于教材是一种包含了人类思想、观点的一种定性系统，我们并不能像许多物理系统那样去进行定量分析，而只能采用逻辑的、层级的分析方法来进行科学的分析.所以中小学数学教材分析的方法主要有学习层级法、课题分析法、逻辑分析法、ISM法以及目标矩阵法.在众多的教材分析法中，目标矩阵法不仅能够提高教材分析的结构化和有序化，而且其简洁、方便的特点也便于广大信息技术教师的理解和掌握.

三、目标矩阵法

1.目标矩阵原理

教学目标分析方法有很多，所谓教学目标分析，就是按照认知理论原理和知识领域中各教学目标（知识点）的内在逻辑关系，分解出教学目标及各级子目标，直至最低一级子目标（预备知识），厘清各级教学子目标之间的相互关系和顺序.

ISM法（Interpretive Structural Modeling Method）是Warfield将图论用于研究社会系统中复杂要素间关联结构分析的一种方法.它的主要依据是有向图模型和布尔矩阵，以人们的实际经验，在计算机的帮助下将一个复杂的系统分解成若干个子系统（要素），后来这种方法也用于教材分析.

目标矩阵的方法与ISM法具有相同的原理，但与ISM法相比，目标矩阵法避免了许多复杂的计算，仅以一些简单的操作就能达到ISM法的效果，因此，目标矩阵法可以看做优化了的ISM法.用目标矩阵法分析教材，无论是分析知识点与知识点之间的关系，还是课题与课题之间的关系，最后都可以用图形来表示它们之间的逻辑关系，因此，这种方法综合了其他所有教材分析方法的优点.目标矩阵方法在学校教学中不仅应用广泛而且还取得了良好的教学效果.

2.目标矩阵的具体实施步骤

运用目标矩阵法分析教材，主要有以下五个步骤：制定教学目标，决定具有形成关系的直接低级目标，列出目标矩阵，按目标水平分类，形成关系图.

（1） 制定教学目标

“两角差的余弦公式”是推导出任意两角之差的余弦公式，并进行证明的一项学习内容.该学习内容的教学目标（G）是：探索发现并能用向量的数量积推导出“两角差的余弦公式”，理解数学的转化思想，增强学生向量方法应用的意识，会运用公式进行简单的化简求值.

通过分析，得出“两角差的余弦公式”课题的前提知识和各类教学目标，如表1所示.

表1　课题的前提知识和各类教学目标

（2） 决定具有形成关系的直接低级目标

通过分析不仅可以给出指定教学目标的低级目标，而且可以给出各目标间的直接形成关系，即各目标的直接低级目标.以这种方法求得“两角差的余弦公式”课题中各目标的直接低级目标，如表2所示.

表2　课题各目标的直接低级目标

图1　目标矩阵（Ⅰ）

（3） 目标矩阵

目标矩阵是基于直接低级目标（表2）作出的，将各种水平的低级目标在横轴与纵轴上进行排列，排列的顺序没有特殊要求.

以位于横轴上的目标为高级目标，若位于纵轴上的某一目标是横轴上某一目标的直接低级目标，则在二者交点的位置处置1，例如，位于横轴上的低级目标1是以R1作为直接低级目标的，因此在这两个目标的交点位置处置1.以此类推，对应于横轴上的各个高级目标，按照表2给出的直接低级目标，分别在相应的交点位置处置1，由此可得到图1这样的目标矩阵（Ⅰ）.

（4） 按目标水平分类

图2　目标矩阵（Ⅱ）

根据目标的水平不同，可对目标进行分类.目标分类可通过对目标矩阵的一定操作而得到.这种操作可按从低向高的方向进行.首先观察目标矩阵（I）的横轴，对应于R1、R2、R3、R4等4个低级目标所在的列均无“1”出现，这表示R1～R4这些低级目标不存在直接低级目标，所以，它们是目标层次结构中的底层.实际上这些目标是作为课题学习的前提知识，因此作为目标体系的底层是容易理解的.位于底层的低级目标是一种水平最低的低级目标，根据实际的目标分类情况，我们称之为第八类目标.观察目标矩阵（Ⅰ）的纵轴，将第八类目标R1～R4所在行上的“1”全部置为空白，由此构成图2这样的目标矩阵（Ⅱ）.观察图2横轴上各低级目标所在的列，除第八类目标R1～R4对应的列外，目标1、目标5、目标6和目标8所在的列全部为空白（不存在“1”）.这类目标被列为第七类目标.

如此下去，可得到低级目标按不同水平分类表，如表3所示.

表3　各级目标按不同水平分类表

基于上述的实际分类情况，各级目标的水平随分类号的数值增加而下降，第一类目标为给定的教学目标，是目标体系中级别最高的教学目标.

（5） 形成关系图

根据目标的水平，将同一水平的目标排在同一水平线上，第八类低级目标位于最底层，第一类目标位于最高层，并将各级间的形成关系以箭头表示，由此得到图3的形成关系图.

图3　形成关系图

四、结论与感想

从以上基于目标矩阵的教材分析可以看出，学生只要掌握了前提知识R2，即诱导公式中的cos（2kπ±α）=cosα，k∈Z，就可以实现对“两角差的余弦公式”的推导与证明.所以将诱导公式放在三角恒等变换之后学习是完全可行的，这些诱导公式都可以通过两角和（差）的正弦、余弦公式推导出来，这也为诱导公式的推导和证明开辟了另外一条道路，教师可在实际教学中参考这种教学方式.当然，教学方法的选择不仅仅依赖于教材分析，教师还应当综合考虑学生学习情况和心理特点等各种因素.数学是一个严谨而又联系密切的逻辑系统，所谓“条条大路通罗马”，教师应当灵活处理教材，真正做到因材施教，这样才能提高课堂教学质量和教学效率.

1.傅德荣，章慧敏．教育信息处理［M］.北京：北京师范大学出版社，2001.