再谈APOS理论下的圆锥曲线教学设计——以抛物线及其标准方程为例

☉浙江省回浦中学　谢佳佳

再谈APOS理论下的圆锥曲线教学设计——以抛物线及其标准方程为例

☉浙江省回浦中学谢佳佳

近日，笔者仔细阅读了《中学数学》中李老师、汪老师的论文《浅谈APOS理论下的圆锥曲线教学——以抛物线及其标准方程为例》（下简称《浅》），受益匪浅，两位老师用数学学习理论APOS引领课堂教学，积极实践，大胆创新，给我们做了很好的教学示范，在教学设计上，笔者有一些自己的思考.

活动阶段是数学概念构建的起点，要确保科学性和有效性.活动的目的是启动思考，在《浅》文中，作者通过三幅图片引出抛物线，开门见山地引出本节课题抛物线，然后给出操作步骤让学生作出抛物线的草图.用图片引入能让学生感受到数学源于生活，并且直观感知抛物线，但是这样的感受比较模糊，为什么烟花或者拱桥的形状就是抛物线而不是双曲线或者其他图形呢？学生按操作步骤作出的图形可能是比较粗糙的，为什么作出的这支曲线就是抛物线？活动设计的科学性有待推敲.此外，学生欣赏完图片后，于接下去的过程阶段的定义导出和对象阶段的方程推导没有实质性的意义.

过程阶段作者对“活动”进行思考，先逐步丰富、完善抛物线的定义，然后求抛物线的标准方程，根据不同的建系方式学生分组合作，得到四种不同方程，对比得出抛物线的标准方程，再用变换的思想方法得到开口向上、向左、向下的标准方程，逐步打开学生的思维，构建了知识体系.笔者的思考是：在建系的过程中，生8和生5、生6、生7建系不属于同一类，学生若想到以过点F且垂直于直线l的直线为x轴，平行于l的直线为y轴建系得到方程x2=2py，学生肯定也会衍生出另外两种建系方式得到x2=2py+p2和x2=2py-p2，这样方程种类过于繁多，在学生未形成知识体系的情况下容易凌乱，不利于突破重难点.另外，在从开口向右引出开口向上、向左、向下的情况时，学生是被动接受的，容易产生误区：只有上、下、左、右四种开口方向.

基于上述思考，结合APOS理论，笔者对《抛物线及其标准方程》进行了再设计.

抛物线是选修2-1第二章第四节的内容，是继曲线与方程、椭圆、双曲线之后学习的圆锥曲线.在这之前，学生已在初中学习过二次函数的图像是抛物线，在数学必修1第三章第一节《函数与方程》中也重点研究过二次函数以及它的图像抛物线.

本节课的教学重点是抛物线的定义和抛物线标准方程及几何性质；教学难点是抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导.

一、活动阶段（A）

师：在本章的开头，我们学习了曲线的方程，请同学们回忆求点的轨迹方程的一般步骤？

生：建系、设点、列式、化简、检验.

问题：（1）已知动点M到定点F（0，1）的距离与它到直线y=-1的距离相等，求点M的轨迹方程并说明它的轨迹.

（2）已知动点M到定点F（0，1）的距离与它到直线y= 0的距离相等，求点M的轨迹方程并说明它的轨迹.

图1

师：上述两个问题求得到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，接下去我们借助几何画板研究到定点和定直线距离相等的点的轨迹.

几何画板演示：如图1，点F是定点，l是不经过点F的定直线，N是l上任意一点，过点N作MN⊥l，线段FN的垂直平分线m交MN于点M，拖动点N，观察点M的轨迹.

问题1：图1中，哪些量是不变的？哪些量在变？

问题2：点M满足什么几何条件呢？

生：点F和直线l不变，图1中M、N两点在动，MN与MF的长度在变化，但始终满足|MN|=|MF|.

师：非常好，我们把图中点M的轨迹就称为抛物线.

【设计说明】活动阶段是学生建构数学概念的起点，从本章开始求点的轨迹方程入手，自然引出课题，又复习了求方程的一般步骤，为过程阶段（P）中求抛物线的标准方程做了有效铺垫.另外，我们要充分考虑学生的最近发展区，找准知识的生长点.学生对开口向上、向下的抛物线很熟悉，出现开口向右的抛物线是比较突兀的，设计开口向上的抛物线形状更符合他们的知识结构和认知水平，容易激起他们的操作意愿，进而提高活动的有效性.

二、过程阶段（P）

师：结合刚才的演示你能给抛物线下一个定义吗？

生：到定点与定直线距离相等的点的轨迹.

师：有补充的吗？

生：平面上，到定点与定直线距离相等的点的轨迹.

师：还有吗？定点与定直线的位置关系如何？

生：定点不在定直线上.

师：若点在直线上，平面内满足条件的点的轨迹是什么呢？

生：是过点F且垂直于直线l的直线.

师生：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

【设计说明】过程阶段对操作阶段进行处理组织，它是概念学习的关键.教师采用问题串的形式驱动学生自觉地思考，对感受加工、分析和提炼，使学生逐步完善抛物线的定义，深刻理解数学内容的本质，培养学生严谨的数学思维.

三、对象阶段（O）

1.研究抛物线的标准方程

师：同学们已经概括了椭圆的文字定义，你能把它转化成数学语言，用集合来表示M点满足的集合条件吗？

生：P={M||MF|=d}，d表示点M到直线l距离.

师：设定点到定直线的距离为p，求抛物线的轨迹方程首先要做什么呢？

生：先建立直角坐标系.

师：有哪些建系方式？

学生探讨建立平面直角坐标系的三种可能方案：

师：哪种建系方式最简单呢？

生（统一地）：第二种.

师：为什么都选第二种？

生：在第二种建系方式下，顶点在原点，抛物线方程是y=ax2，最简洁.

2.求解抛物线的标准方程

师：请同学们自主求解抛物线方程.

学生快速得到开口向上的抛物线方程x2=2py.

师：我们把x2=2py（p>0）叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是准线方程是

3.类比得到四种标准方程

师：你能得到开口向下的抛物线标准方程及对应的焦点和准线吗？

生：开口向下的抛物线的标准方程为x2=-2py，焦点坐标准线方程

图2

师：抛物线的开口可以朝任意方向（旋转抛物线，如图2），本章重点研究上、下、左、右这四种特殊位置的抛物线.

师：类似地，你能得到开口向左、向右的抛物线的标准方程吗？

学生自主完成下列表格：

备注：在学生完成表格过程中，教师可以启发他们从旋转变换的角度去理解，也可以类比椭圆和双曲线中两种标准方程的方法得到，对理解困难的同学鼓励他们课后建系逐个验证.

师：根据上表中抛物线的图形、标准方程、焦点坐标和标准方程的对应关系，你能加以归纳总结吗？

学生自主归纳，教师在学生归纳的基础上加以完善.

【设计说明】在对象阶段，教师在帮助学生认识抛物线定义本质的基础上为其赋予形式化的符号，提炼出表达式和标准方程，使“抛物线”成为一个具体的对象.在活动阶段和过程阶段，教师以开口向上的抛物线引入，做了充分的铺垫，对开口向上的抛物线，顶点在原点时得到的方程结构最简洁，这些都是学生非常熟悉的知识和内容，选择第二种建系方式清晰、自然，既节约时间又突出重点，从活动阶段到过程阶段再到对象阶段一气呵成，显著地提升了课堂效率.在得到开口向上的抛物线标准方程后，通过几何画板旋转演示，合理地解释了抛物线开口的任意性，再突出重点研究四种特殊位置，符合学生的认知规律.通过让学生自主地总结四种方程和对应的准线、焦点，逐步完善对象阶段.

四、概型阶段（S）

1.例题分析

例1求下列抛物线的焦点坐标和标准方程：

（1）y2=4x；（2）y=4x2；（3）y2=ax（a≠0）.

学生自主完成，并阐述解题过程.

教师点拨、提升：先化成抛物线的标准方程，明确开口方向，画出对应的图像，找出对应的焦点、准线.以抛物线方程y2=2px为例，焦点横坐标是一次项系数2p的

练习：请根据下列条件写出抛物线的标准方程：

2.能力提升

例2已知点F（4，0），求满足下列条件的点M的轨迹方程.

（1）点M到点F的距离等于它到直线x-4=0的距离；

（2）点M到点F的距离等于它到直线x+4=0的距离；

（3）点M到点F的距离比它到直线x+5=0的距离小1.

3.课堂小结

师：本节课你学到了哪些？

生：内容上，学习了抛物线的定义及对应的标准方程、焦点、准线，对抛物线和二次函数有了更系统的认识；在思想方法上，利用坐标法研究曲线，运用了类比，数形结合，分类讨论.

4.课后思考

请证明二次函数y=ax2的图像是抛物线.

【设计说明】概型阶段设计的几个问题都需要在认识抛物线及其标准方程的基础上进行，通过对概念的进一步分辨最终形成综合的心理图式，从而将概念应用于问题解决的情境.通过例1巩固本节的重点，且通过归纳对知识点进行总结、提升；例2通过一组精心设计的问题链来引导和激发学生的思考，由浅入深，环环相扣，与前面的三个阶段相呼应，回归到抛物线的概念.同时，用开放题、思考等方式，多渠道多角度丰富学生对“对象（O）”的理解，进一步帮助学生的认识上升到“概型（S）”的层次.

五、教学与反思

（1）APOS理论中的四个阶段是有机统一的整体.活动阶段学生理解了概念的直观背景和概念之间的关系；过程阶段学生对活动操作阶段进行思考，经历内化压缩的过程；学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质，对其赋予形式化的定义和符号，这时成为对象；随着学习的深入，以此为对象进行新的活动，进入到概型阶段，包括特例、定义、符号、抽象过程，最终形成综合的心理图式，这四个阶段是一个完整的体系，应该相辅相成，环环相扣.笔者先从点的轨迹引入自然引出抛物线概念，并且为求抛物线的标准方程做好铺垫；从开口向上的抛物线引入，为选择合理的建系做了铺垫；在学生完善了抛物线的概念后，设计了题组例2检验学生概念理解水平，首尾呼应.

（2）APOS理论中的概型阶段可以和变式教学相结合.概型阶段可以充分发挥传统变式教学的优势，用变式练习形式的操作，把交织的概念的本质和非本质属性分开，螺旋式上升.同时，利用开放问题、学生自己举例、做概念图表等多种方式，使得知识得到结构化，完善对概念的理解和应用.另外，教师设计的一些探究式学习等教学环节都暗合APOS理论中的某些阶段，我们可以将两者相互融合，在实践中丰富对概念教学的有效性.

（3）APOS理论指导的教学符合新课程改革理念.高中数学新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，不断鼓励不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发展的创造历程，以培养学生的创新意识.APOS理论真实反映了数学概念的心智建构过程，是构建主义学习理论在数学实践中的一种具体模式.APOS理论指导的数学概念教学能将现实生活融入课堂，丰富学生活动，让数学学习不仅局限于接受、记忆、模仿和练习，给予学生提出问题、解决问题的自主权，为学生创造自主探究、动手实践和合作交流的空间，帮助学生建立有内涵的数学概念，与新课程背景下的教学改革不谋而合，我们应该积极尝试.

1.李群，汪智源.浅谈APOS理论下的圆锥曲线教学［J］.中学数学（上），2015（5）.

2.方厚良.“抛物线及其标准方程”的教学思考［J］.中小学数学（高中版），2014（1-2）.

3.程华.AOPS理论的内涵及其对中学数学概念教学的启示［J］.教学与管理，2010（24）.