双曲线背景下三角形问题探究

☉浙江省诸暨市牌头中学　孟　俊

双曲线背景下三角形问题探究

☉浙江省诸暨市牌头中学孟俊

教材中的例题、习题是高考命题的重要来源之一.纵观近年高考试题，大多能在教材中找到其立足点.命题人通过对课本习题的改编或转换考查视角，从而命制出全新的考题.因此我们在教学中要善于利用这一资源，引导学生对课本习题进行深入的探究，从而提高考生的应试能力.

例1（新课标人教版选修2-1第57页习题）如图1，已知F1，F2是双曲线3x2－5y2=15的两个焦点，点A在双曲线上，且△F1AF2的面积等于求∠F1AF2的大小.

图1

与圆锥曲线焦点有关的三角形，我们通常称其为焦点三角形.此类问题常涉及三角形的周长、面积、夹角等.

欲求∠F1AF2的大小，可通过求sin∠F1AF2来实现.因此只要求得|AF1·||AF2|的值，即可解决问题.因此继续寻找|AF1|、|AF2|的关系.

在△F1AF2中，由余弦定理得|AF1|2+|AF2|2－2|AF1||AF2·| cos∠F1AF2=4c2=32.（1）

由双曲线的定义得|AF1|－|AF2|=2a=2两边平方得|AF1|2+|AF2|2－2|AF1||AF2|=20.（2）

一、逆向变换求面积

将问题的条件与结论互换，是题目常见变化之一，能有效考查同学们对所学知识的掌握及灵活应用能力，也从另外一个角度反映了公式、性质、定理的三用技巧，即正用、逆用及变形用.

例2已知F1、F2是双曲线3x2－5y2=15的两个焦点，点A在双曲线上.若求△F1AF2的面积.

在△F1AF2中，由余弦定理得32.（1）

由双曲线的定义得|AF1|－|AF2|=2a=2两边平方得|A|A－2|AF1||AF2|=20.（2）

二、深入探究得一般结论

教材中的例题或习题具有典型的代表性，对其进行深入的探究，常可得到解决一类问题的一般结论.

解析：在△F1AF2中，由余弦定理得|AF1|2+|AF2|2－2|AF1||AF2|cos∠F1AF2=4c2.（1）

由双曲线的定义得||AF1|－|AF2||=2a，两边平方得|AF1|2+ |AF2|2－2|AF1||AF2|=4a2.（2）

（1）-（2）得2|AF1||AF2|（1－cos∠F1AF2）=4a2－4c2=4b2.

所以

三、将焦点变顶点

例4（2015年全国新课标卷Ⅱ）已知A、B为双曲线E的左、右顶点，点M在双曲线E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E的离心率为（）.

图2

点评：本题将焦点变为顶点，问题求解的方法也随之改变，与例1的解法2如出一辙.

四、将焦点变定点

条件改变是问题变式的又一种主要方式.随着条件的变化，问题求解的方法也会有所调整.此类变换能有效考查考生的应变能力.

图3

例5（2015年全国新课标卷）如图3，已知F是双曲线C：的右焦点，P是双曲线C左支上一点，A（0，6），当△APF的周长最小时，该三角形的面积为_________．

解析：设双曲线C的左焦点为F′.△APF的周长为d= |PA|+|PF|+|AF|.由双曲线定义知|PF|=2a+|PF′|，所以d= |PA|+|PF′|+|AF|+2a.因为|AF|+2a为定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+|PF′|最小，即P、A、F′三点共线.

点评：本题将其中的一个焦点改为顶点，另一点改为曲线上的动点，则结论也由原来的定值变为最值.但求解思路仍然是由定义展开.

五、改变曲线背景

圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线，圆锥曲线第二定义将三种曲线紧密结合在一起，适用于一种曲线的性质往往也适合另一种曲线.

解析：在△AF1F2中，由余弦定理得|AF1|2+|AF2|2－2|AF1||AF2|cosθ=|F1F2|2，所以（|AF1|+|AF2|）2-2|AF1||AF2|·（1+cosθ）=4c2，所以2|AF1||AF2|（1+cosθ）=4b2，所以|AF1|·即

总之，数学解题的过程就是对问题探究的过程，通过对问题的变式探究，即锻炼了思维，又培养了能力，笔者希望以此抛砖引玉，激发同学们的探究热情，以课本习题为出发点，找到高考命题的生长点，从而为数学备考指引方向.