有效追问让初中数学课堂走向深入

☉江苏省张家港市暨阳湖实验学校徐辉

有效追问让初中数学课堂走向深入

☉江苏省张家港市暨阳湖实验学校徐辉

“追问，是对某一内容或某一问题，为了使学生弄懂弄通，往往在一问之后又再次提问，穷追不舍，直到学生能正确解答为止.”随着课堂教学改革的不断深入，初中数学课堂教学的形式也在不断更新，师生活动、生生活动更加丰富多彩，小组合作学习得到了充分体现.在这样动态的课堂教学中，需要教师根据问答、讨论、展评等学习活动的情况，对学生思维行为作及时的疏导、点拨、评价，促进学生的学习和发展.研究表明，一次成功的“追问”能引导学生进行反思，让学生暴露真实的思维过程，强化对问题的认识.教师也能深入细致地了解学生的学习状况，正确把握教学的节奏，更加合理地推进教学进程.因此，有效的“追问”源于正确的教学理念、灵活的教学机智，是促进学生有效学习、提升素养、发展自我的重要教学指导策略.下面结合本人在概念教学与解题教学中的几则片段进行具体的分析与思考，期望对一线教师的教学能有所帮助.

一、在概念思辩时顺向追问，强化学生理解概念的清晰度

在初中数学教材中，概念教学每章都有，其重要性不言而语.但是，许多重要的概念都是以描述性的语句出现在教材中，致使概念的严谨性体现不足，使得部分教师对概念教学的认识产生了偏差.同时，概念的高度概括性和抽象性也给教师以“概念课难上”的印象，于是，面对回避不了的概念课，部分教师采用“一读而过”或“机械性记忆加大量的巩固练习”的方式进行应付，造成了学生对数学概念理解肤浅，更谈不上应用概念去解决数学问题.当然，随着课程改革的不断深入，广大教师也意识到了概念教学的重要性与必要性，逐步懂得了概念教学的关键是概念的引入和认知，只有让学生在饶有兴趣、注意力较为集中的时候，通过对概念的认识、探究、思辩，加上有效追问，让学生认清概念的发生、发展过程，强化学生理解概念的清晰度，达到真正掌握概念的本质的目的，只有这样，学生才能够正确应用概念，合理、迅速地进行运算、论证等数学活动.

教学片段1——二次根式

……

例1下列哪些式子是二次根式？为什么？

师（追问1）：生1回答得非常好，理由解释得也很清楚.对于（4）和（5）我们能否改变或增加条件，使得它们是二次根式呢？

生4：a2+2≥0是恒成立的，所以一定是二次根式.

师：生4回答得非常好.我们要判断一个式子是不是二次根式，一要看它的形式是否满足“”，二要判断其被开方数（式）是不是大于或等于零.

……

思考与评点：数学概念兼有“过程”与“对象”的双重性.概念的形成往往要从过程开始，然后转变为对象的认识，最后共存于认知结构中.因此，明确概念就是从质的方面明确概念的内涵和从量的方面明确概念的外延.通常情况下，教师设问以后，学生作答正确，一个问题就算解决了，但这正确的背后存在两种可能：一是学生懂得并且正确理解概念后作出的判断；二是学生一知半解或侥幸答对.教师的设问绝不是仅仅为了让学生回答，而是为了启迪学生的思维.因此，在学生回答正确后再追问一句“为什么”是必要的，只有让学生答“其所以然”，才能真正了解其对概念的理解把握程度.

二、在例题教学时适度追问，拓展课本例题的教育功能和发展功能

初中数学教材中，例题的地位主要是由其作用和功能决定的，例题、知识和习题是教材的重要组成部分.从初中数学教材例题来看，其主要的功能是知识功能、示范功能、教育功能和发展功能.编者希望通过例题的教学过程，让学生进一步理解概念、掌握法则、熟悉新知、学会新知、应用新知，将学科知识系统化并转化为必要的能力与技巧，例题的知识功能和示范功能体现得比较彻底.现阶段，国内外关于教材例题功能的研究尚不够深入，在教材例题应用方面的挖掘深度还有待提高.我们平时教学中所能做的就是在例题教学时适度追问，拓展课本例题的教育功能和发展功能，让课本例题的功能最大化.

教学片段2——多边形的内角和与外角和（3）

……

师：我们在学习“多边形的内角和与外角和（1）”时，曾经讲过这样一个例题.

例2如图1，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P，∠A=70°，求∠BPC的度数.请大家回忆一下，这个问题是如何解决的？

图1

图2

生1：由∠A=70°，可以得∠ABC+∠ACB=180°-∠A= 110°.由BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，所以∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=55°，从而∠BPC=180°-∠1-∠2=125°.

师：本例的解答过程中，一是充分利用了三角形内角和定理，二是巧妙地利用整体思维求得∠1+∠2=55°.

师（追问1）：如果将上述例题中的CE改为∠ACB的外角平分线，那么，∠BPC的度数又是多少度呢？

变式一如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线BP与∠ACB的外角平分线CP相交于点P，若∠A=70°，求∠BPC的度数.

生2：因为∠ACD=∠A+∠ABC，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线，所以∠2=∠ADC=∠A+∠1，即∠2-∠1=∠A，所以∠BPC=∠2-∠1=∠A= 35°.

师：变式一的解答过程分为三个层次.第1层次，在△ABC中，根据“三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和”这一结论，求得“∠ACD=∠A+∠ABC”；第2层次，根据BP、CP分别平分∠ABC、∠ACD，求得∠2-∠1=∠A（将∠2-∠1看成一个整体）；第3层次，再次利用“三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和”这一结论，求得∠BPC的度数.

师（追问2）：如果再将“变式一”中的BP也改为∠ABC的外角平分线，那么，∠BPC的度数是多少？

变式二如图3，在△ABC中，∠ABC的外角平分线BP与∠ACB的外角平分线CP相交于点P，若∠A=70°，求∠BPC的度数.

生3：因为BP是∠ABC的外角平分线，所以2∠1=∠A+∠C.同理：2∠2=∠A+∠B.所以2（∠1+∠2）=2∠A+∠B+∠C=180°+∠A，整理得∠1+∠2=90°+∠A，从而∠BPC=180°-（∠1+∠2）=90°-∠A=55°.

图3

……

思考与评点：在例题教学中，引导学生就原来的问题进行深入而周密的思考，直到理解变得准确、全面、细致、深刻为止，这种追问是很有价值的.从教材原有的例题到变式一，再由变式一到变式二，后一问题是对前一问题的补充和深化，在“新知”教学中，让学生有一种剥笋的感觉，一步一步探得问题的实质.在学生作出正确解答后，教师的分层评析，起到了帮助学生理清解题思路，全面了解思维过程，熟练掌握解题方法的作用.这样的追问能使教学更有深度，能引导学生通过知识建构的过程，将原有零碎、散乱、无序的知识系统化.

三、在学生思维阻滞时及时追问，帮助学生搭建思维起点与问题终点之间的双向通道

数学教学不仅要让学生掌握扎实的基础知识与基本技能，而且要使学生具有用数学思想方法去分析问题、解决问题的能力.然而，在平时的教学活动中，我们经常能听到学生反映教师讲课时，听得很“明白”，但到自己解题时，围绕当堂内容的基础性问题能自己解决，综合性比较强、前后知识联系比较紧密的问题，常常难以入手，思维受阻.事实上，有些问题的解答，学生发生困难，并不是因为问题的内容深奥、解答太难，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异，因而，学生的数学思维存在着障碍.此时，教师要给学生提供合作交流的机会，集思广益，开拓思路，释疑解疑.必要时，教师可以增加设问，设置一些简单的问题作为铺垫，将需要解决的问题转化为学生熟悉的问题，进而解决问题.

教学片段3——一次函数（初三复习备考）

……

师：我们知道，利用一次函数y=kx+b的图像，可以直接写出关于x的不等式kx+b≥0的解集，请大家思考一下，下面这道题怎么解决？

例3已知一次函数y=kx+b的图像如图4所示，则关于x的不等式k（x-4）-2b≥0的解集为（）.

A.x≥-2 B.x≤-2

C.x≤3D.x≥3

图4

生1：kx+b≥0的解集为x≤3，不等式k（x-4）-2b≥0与kx+b≥0有什么关系呢？

师（追问1）：好的.生1看到了一次函数y=kx+b的图像经过点（3，0），它能给我们带来哪些信息呢？

生2：3k+b=0.

师（追问2）：还有吗？

生3：k＜0，b＞0.

师（追问3）：原不等式k（x-4）-2b≥0中，除自变量x外，还含有两个字母k和b，这正是你们不能正确解答这个问题的关键所在.如果我们将3k+b=0改写为b=-3k并且代入原不等式会有什么结果呢？

生4（稍作思考）：原不等式可化为k（x-4）+6k≥0，因为k＜0，不等式的两边同除以k，不等式就可化为x-4+6≤0，因此，原不等式的解集为x≤-2，选择B.

师：生4的解答过程非常清晰、详细、有条理.这里值得注意的是k＜0在解决本题时的重要性.如果我们将3k+ b=0改写为k=-b并且代入原不等式，解答过程有什么差异呢？大家不妨一试.

……

思考与评点：综观上述教学过程，通过一次函数、不等式知识的简单应用，让学生充分领略了搜集信息、分析信息、加工信息、应用信息的重要性，充分认清了“消元”思想在解决数学问题中的地位与作用.研究表明，对知识的加工越精细，记忆就越牢固.这种加工最重要的是寻找知识与知识之间的联系，找到已有知识与当前所学知识的联系、此知识与彼知识的联系，使之形成网络.

四、在解题方法变化时追加追问，引导学生完善知识结构、优化解题方法、提升核心素养

著名数学家波利亚曾经说过：“掌握数学就意味着要善于解题.”因此，初中数学教学除了要重视概念教学，切不可忽视解题教学，要在传授思想知识的同时，强化数学思想方法的渗透，切实提高学生应用数学知识去发现问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的数学创新精神.在平时的解题教学中，我们常常会发现：对于一个数学问题，若能根据已知与要求之间的关系，发散思维，前后联系，多角度深入地思考，可以得到多种不同的解法.

此时，教师应当通过追加追问做好以下两方面的工作，一是要引导学生积极思考，大胆实践，从不同的角度去看待同一个问题，灵活运用不同的方法（知识）去解决同一个问题；二是要引导学生深刻反思，通过对不同解法的分析比较，找到不同解法的各自的侧重点，积累解题经验，优化解题方法.

图5

教学片段4——二次函数（2）（初三复习备考）……

例4如图5，二次函数y=-x2+ 4x-3的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C.

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）在y轴上求作一点D，使得DA+DC最小，求点D的坐标.

（出示问题，教师巡视后）

师：第（1）小题大家都很快解决了，点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）和（2，1）.第（2）小题怎么入手？

（学生思考、操作后）

生1：作点A（1，0）关于y轴的对称点A1（-1，0），连接，求得的方程为y=x+，它与y轴的交点就是所求的点，所以点D的坐标为（0）.

师（追问1）：很好，生1利用一次函数的知识解决了问题.我们能否应用几何知识来求解这个问题呢？（学生继续思考后）

生2：作点A（1，0）关于y轴的对称点A1（-1，0），连接A1C交y轴于点D.过C作CE⊥x轴于点E，那么，△A1OD∽△，所以=，求得OD=，所以点D的坐标为（0，）.

师（追问2）：生2利用相似三角形知识求得线段OD的长，进而求得点D的坐标.我们还有其他方法来求线段OD的长吗？

生3：我们还是利用生2的图形，可以利用锐角三角函数来求线段OD的长.

师：很好，我们可以利用不同的知识来解决同一个问题，值得注意的是每一方法都需要构造点A（1，0）关于y轴的对称点A1（-1，0）.

……

思考与评点：采用一题多解的形式进行教学，能唤起学生学习数学的兴趣，在揭示知识的过程中，逐步把学生引入胜境，启发学生主动分析、思考问题，有助于学生大胆尝试，主动愉快地获取知识，从而训练思维的广阔性、灵活性、深刻性.而不同的方法的产生、形成、完善，需要师生共同去创造.

对于课堂教学而言，追问是一种艺术，通过适时的追问，帮助学生开拓思路，活跃思维，并在更高层次上继续思考，迸发出创新的火花；追问是一种智慧，追问的价值在于探明学生的思维状态，促进思维能力的提升，有经验的教师会提供给学生充分思考和表达的空间，对学生习以为常的答案及时进行追问，从而引领和转化学生解决问题的思维策略；追问是一种手段，新课程标准倡导确立学生的主体地位，促进学生积极主动地学习，但是学生的自主探索、自觉体验、主动思考和合作交流难免有肤浅疏漏之处，这就需要教师以组织者的角色进行有效的控制和引导，而追问正是一种十分行之有效的调控手段.有效追问，能让初中数学课堂走向深入.

1.王飞兵.例谈初中数学概念教学的基本步骤［J］.初中数学教与学，2015（2）.

2.罗增儒.数学概念的理解与教学［J］.中学数学教学参考（上），2016（3）.H