渗透建模思想，传递研究套路——“一次函数”教学设计与立意解读

☉江苏省江阴市华西实验学校孙小林

渗透建模思想，传递研究套路——“一次函数”教学设计与立意解读

☉江苏省江阴市华西实验学校孙小林

一次函数的教学一直是研究的热点，如何基于生活现实，巧妙过渡、引入到一次函数的概念，并与此前已学的正比例函数概念关联起来，引导学生辨析它们之间的内在联系，并类比学习新的内容，是很多“同课异构”研讨的重点与难点.笔者近期有机会执教一次函数（第1课时）的公开课教学，对此做一些思考和实践，现将该课的教学设计整理出来，并附教学立意的解读，提供研讨与批评.

一、“一次函数”教学设计

1.活动现实，引入新课

给出一组实际问题（限于篇幅，略去），由学生列出其中变量之间的关系式（都是一次函数关系）.

活动预设：教师用PPT展示问题情景，学生自主探究问题中变量之间的关系式，并且由学生小组内交流，教师巡视、组织全班交流.

设计意图：以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，让学生经历“找出常量与变量，建立并表示一次函数的模型”的过程，在此过程中体会学习新知的必要性，体会数学知识来源于实际生活，激发学生学习数学、解决实际问题的兴趣.

2.合作交流，探究新知

将上面学生列出的四个函数关系式排列在一起.

y=-6x+5；

y=0.1x+22；

G=1h+（-105）；

H=-50t+（-20）.

问题1：请思考这四个函数关系式的共同点，并指出一次函数与正比例函数之间的关系.

问题2：请再举出一些一次函数的例子.

活动预设：PPT呈现所得的四个函数解析式，学生观察、思考、议论，类比正比例函数的概念，给出一次函数的概念.

问题3：对于一次函数的一般形式y=kx+b中的k可以等于0吗？为什么？b可以等于0吗？若b=0，函数式子是什么？（小组议论后，全班交流）

问题4：一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）中自变量的取值范围是什么？

设计意图：训练学生的抽象思维能力，为给出一次函数的定义做好铺垫.抓住学生的认知规律，将原有的学习经验迁移到新的学习中，感悟从特殊到一般的思想方法.通过举例及时反馈学生对一次函数的认知情况，渗透从一般到特殊的数学思想.

3.概念辨析，理解新知

给出一组习题，通过练习让学生对一次函数的概念进行辨析.

（1）判断下列函数是否是一次函数：①y=-0.5x-1；②y=；③y=-2x；④y=；⑤y= -x2+3；⑥y=ax+3（a是常数）.

（2）填空：

①当m=____时，函数y=（m-1）xm-2+2m是一次函数，其解析式是_____.

②已知函数y=（m-1）x|m|+3m是一次函数，则m= _______.

（3）当（y+2）与（x+1）成正比例关系时，y是x的一次函数吗？为什么？

讲评预设：学生回答练习（1）后，追问理由；小组讨论第（3）题，各自写出解答过程.教师巡视，选两名同学板演，师生共同评价.并引导学生小结出一次函数的相关性质，形成如下的板书：

一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的结构特征：

①k≠0；

②x的次数是1；

③常数项b可以是任意实数，解题时不能忽视k≠0条件.

还需要跟学生强调：由一次函数的定义可知，若函数是一次函数，则其解析式可化为y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的形式.反之，若一个函数的解析式可化为y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）的形式，则此函数为一次函数.

设计意图：给出一组辨析题旨在让学生体会解决这类问题的关键是紧扣一次函数的概念，即采用回归定义法.解决第（2）小题时，还体现了转化思想，通过一次函数的概念将问题转化为不等式或方程组求解.

此外，通过设置问题（1）让学生直接根据定义辨识；通过设置问题（2）让学生进一步深化定义；通过设置问题（3）根据定义再次自主探究；这样通过问题链，由浅入深，让学生对一次函数概念的学习经历：听懂了→理解了→学会了→会学了，真正做到举一反三、触类旁通.让学生积极参与学习，促进自我发现容易出错的地方，相互提醒该注意的问题.趁热打铁进行解题后的小结往往是对学生思维上的一次提升.

4.例题教学，运用新知

例1汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时耗油5升，求油箱中的余油量y（单位：升）随行驶时间x（单位：小时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，y是x的一次函数吗？

例2如图1，长方形ABCD中，长AD=12cm，宽AB= 5cm.点P在边AD上运动（可以与A重合，但不与D重合），设线段AP的长为x cm.

（1）写出线段PD的长度y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

（2）写出△PCD的面积S与x之间的函数关系式.当点P运动到AD的中点时，△PCD的面积是多少？

图1

活动预设：首先，由学生自主解答例1，再全班交流，教师板书解题过程，示范书写步骤.其次，小组讨论例2，全班交流，学生展示例2的解题过程，教师即时点评.最后，在运用一次函数概念解题的过程中，引导学生发表他们解题过程中的收获与感悟（议论、交流）.

设计意图：两个例题引导学生用一次函数的模型解决问题，并学会确定实际问题中函数自变量的取值范围.通过问题探究，让学生进一步明确：①识别一个函数是否为一次函数，关键是准确把握定义；②实际问题中的函数要根据自变量的实际意义考虑自变量的取值范围.

5.练习巩固，及时反馈

PPT展示练习题，组织学生解答并交流：

（1）如图2，一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米.

①求小球速度v随时间t变化的函数关系式，并指出自变量的取值范围；它是一次函数吗？

（2）某5A风景区集体门票收费标准是：20人内（含20人）每人25元，超过20人的部分每人10元.

①写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）（x＞20，且x为整数）之间的关系式；

②利用①中的函数关系式，计算某班56名学生去风景区游览时，为购门票花了多少钱？

（3）请设计一个能用一次函数来刻画的实际问题，并写出函数关系式.

讲评预设：学生完成练习后安排板演展示，由其他学生评价、补充板演同学的解答过程，教师强调相关注意点.

设计意图：通过板演或讲解展示锻炼学生的表达能力，培养了学生严谨的思维方式，学会了用函数思想去解决实际问题，实现了知识向能力的转化.对于第（1）题，旨在提高学生应用一次函数知识解决问题的能力，并养成用数学的思维和方法解决生活中遇到的实际问题的能力.对于第（3）题，意在通过活动鼓励学生在独立思考的基础上积极地参与到对数学问题的讨论中来，勇于发表自己的观点，善于理解他人的见解，在交流中获益.同时进一步体验数学建模思想.

6.回顾小结，布置作业

课件展示本节课知识点、注意点及研究方法，完善出本课的板书，如图3所示.

图3

设计意图：通过回顾反思，有意识地引导学生梳理所学知识、数学思想和方法，培养学生善于反思的良好习惯.特别是通过板书的呈现，使学生在认知结构上得到完善，在整体认识上得到升华.布置作业（略）.

二、教学立意的进一步阐释

1.重视生活现实中的一次函数模型，渗透建模思想

一次函数在活动中有很多现实模型，本课例从开课阶段就选取了教材及相关资料上的生活现实，让学生提炼出一次函数的关系式，并思考一次函数与正比例函数之间的关系，从而渗透建模思想.也就是在学生原有认知（函数概念、正比例函数概念）的基础上，通过问题情境，让学生自主感知概念；通过观察议论，让学生类比正比例函数构建一次函数概念；通过一组辨析题，使学生强化概念；通过例题分析，让学生应用概念；通过练议，尤其是编题，让学生巩固、升华概念.

2.引导经历特殊到一般的研究过程，传递研究套路

从上面的教学流程来看，不但让学生体验一次函数是解决实际问题的又一数学模型，同时让学生感悟“从特殊到一般，从具体到抽象”的数学“研究套路”（章建跃博士语）.这样引导学生在课堂活动中感悟知识的生成、发展与变化，也就发展了学生的“学力”（李庾南老师语）.作为文末，想起那段意味深长的话，与同行们共勉：多年以后，当学生忘了在学校里所学的具体的知识之后，留在他们脑中的解决问题的套路、着眼点，数学的精神、思想与方法是无时无刻不在发挥作用的.

1.钟启泉.新旧教学的分水岭［J］.基础教育课程（上），2014（2）.

2.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.章建跃.全面深化数学课改的几个关键［J］.课程·教材·教法，2015（5）.

4.张奠宙.数学教育需要民族文化的滋润——从《PISA报告（2012）》说起［J］.数学教学，2014（1）.H