点动图变细分类构圆探求助突破——2016年绍兴市中考压轴题最后一问的思路突破与解后反思

☉浙江省绍兴市柯桥区平水镇中　沈岳夫

点动图变细分类构圆探求助突破——2016年绍兴市中考压轴题最后一问的思路突破与解后反思

☉浙江省绍兴市柯桥区平水镇中沈岳夫

2016年绍兴市中考数学试卷结构合理，知识面覆盖广，难度适中，区分度恰当，与近三年绍兴市中考数学试卷的考查内容基本保持一致.在考查方向上，体现注重基础、突出能力的思想；在考查内容上，体现了基础性、开放性、新颖性、应用性、探究性和综合性.试卷多题把关，有较好的区分度，以利于不同发展层次的学生展示自己数学学习的成就.比如第24题，作为压轴题，压在理念、压在立意、压在数学思想方面.尤其第（3）小题思维含量高，考查学生对图形要素间的内在关系的分析和灵活转换.在图形的特殊位置时，渗透分类讨论的思想，让学生在比较、分析、归纳、类比、抽象中体会数学思想.笔者给出第（3）小题的一种解题思路，期待与同行交流.

一、试题呈现

题目如图1，在矩形ABCO中，O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A，C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x-3.

（1）分别求直线l1与x轴、直线l2与AB的交点坐标.

（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标.

（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形称为图形F，已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）.

图1　

二、第（3）小题x的取值范围的突破

由于命题组只给出x的取值范围的直接答案，笔者静心下来，认真思考，如何破解命题组特意设置（控制满分）的这道“坎”？

记得苏谆教授曾说：“简单情形正像是一把钥匙、一面镜子，能为我们解答复杂的数学问题提供启示与借鉴.”对于一类以探究“定值”、“定点”、“定线”为特征的数学题，可以通过“主动寻求与建构特例”，巧妙锁定思维方向，迅速实现问题解决.因此，对动点产生的图形问题，有时考虑极端情形，如量的最大、最小，图形特殊位置或临界位置等，能找到解题的突破口，从极端情形的讨论和研究找到解决最值问题的方法，进而确定图形的大致图像.因此，笔者认为解答动态型试题时应先足够的退，如把点P按题意分别退到我们最容易看清楚问题的地方，认透了，钻深了，然后再上去，这就是“以退为进”的解题策略，沿着这一思路，终于找到了解题的突破口，使问题出现了转机，看到了曙光.

1.当点N在直线l1上时

当P点在C点时（如图2），以AC为直径画辅助圆，此时直线l1与圆O′的交点就是N点横坐标的极端位置——最小值位置.设N点坐标为（x，2x+3），由题意，易求AC=5，所以AP=5，进而求得AP的中点O′的坐标为因为四边形ANPQ是矩形，所以O′A=O′N，即O′A2=O′N2，得（x-解得舍去）.

图2　

图3　

当P点在B点时（如图3），以AB为直径画辅助圆，此时直线l1与圆O′的交点就是N点横坐标的极端位置——最大值位置.设N点坐标为（x，2x+3），由题意知AB=4，所以AP=4，所以AP的中点O′的坐标为（2，3）.因为四边形ANPQ是矩形，所以O′A=O′N，即O′A2=O′N2，得（x-2）2+（舍去）.

由于点N不能与点A重合，所以当点N在直线l1上，且N点在对角线AP下方时，x的取值范围是当点N在直线l1上，且N点在对角线AP上方时，x的取值范围是

2.当点N在直线l2上时

当P点在C点，N点在对角线AP下方时（如图4），以AC为直径画辅助圆，此时直线l2与圆O′的交点就是N点横坐标的极端位置——最小值位置.设N点坐标为（x，2x-3），由题意，易求AP=5，进而求得AP的中点O′的坐标为因为四边形ANPQ是矩形，所以O′A=O′N，有整理得5x2-22x+18=0，解得由于N点在对角线AP下方，而不合题意，舍去，所以

图5　

图4　

当P点在B点，N点在AP下方时（如图5），以AB为直径画辅助圆，此时直线l2与圆O′的交点就是N点横坐标的极端位置——最大值位置，可得x=2.

当P点在C点，N点在对角线AP上方时（如图6），以AC为直径画辅助圆，此时直线l2与圆O′的交点就是N点横坐标的极端位置——最小值位置.设N点坐标为（x，2x-3），由题意，易求AP=5，进而求得AP的中点O′的坐标因为四边形ANPQ是矩形，所以O′A=O′N，有O′A2=O′N2，得整理得5x2-22x+18=0，解得由于N点在对角线AP上方，而不合题意，舍去，所以

图6　

当P点在B点，N点在AP上方时（如图7），以AB为直径画辅助圆，此时直线l2与圆O′的交点就是N点横坐标的极端位置——最大值位置.设N点坐标为（x，2x-3），由题意知AB=4，所以AP=4，所以AP的中点O′的坐标为（2，3）.因为四边形ANPQ是矩形，所以O′A=O′N，即O′A2=O′N2，得（x-2）2+（2x-3-3）2=22，整理得5x2-28x+36=0，解得x1=（舍去）.由于N点在对角线AP上方，而x=2<3，不合题意，舍去，所以

可知，当点N在直线l2上，且N点在对角线AP下方时，x的取值范围是当点N在直线l2上，且N点在对角线AP上方时，x的取值范围是

三、“教”，“教”比“解”宽泛

1.关注思想方法，为学生提升素养蓄势储能

数学教学离不开数学思想方法，数学教学的核心是数学思想方法的渗透.《课标》（2011年版）提醒我们：数学思想蕴含在数学知识的形成、发展和应用过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括.知识是能力的基础，能力是知识的升华，思想方法则是其灵魂.解决问题是对知识的运用，是学习经验的积累，是获得能力的途径，在解决问题过程中，尤其要注重对数学思想方法的渗透与提炼，在2016年绍兴市中考数学试卷，6道填空题有3道要分类思考（第14、15、16题），解答题有2道要分类思考（第23、24题），足见思想方法的重要性，就本文探讨的第（3）小题，如分类讨论思想（如当N点分别在直线l1、l2上时，要对N点在对角线AC下方或上方进行分类）和转化思想（如构造出构造辅助圆等），除此以外，还需用到数形结合、方程等思想方法.只有这样，才能培养学生发现问题和提出问题的能力，才能发展学生分析问题和解决问题的能力，数学思想是数学的精髓，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程之中.

2.立足构造图形，为学生分解难点铺路塔桥

解题难点是因人而异的，或源于解题者的知识漏洞，或源于发现不了隐含条件，或源于顾此失彼等.压轴题的区分功能意味着不同水平的学生都有得分空间.不强求全对，但要尽力，“分步、采点”不失为一种得分策略.利用图形思考、探究，有利于学生找到适合自己的解题方式.此题的第（2）小题也有一定的难度，要对△APM是等腰直角三角形进行分类画图思考：即若点A为直角顶点；或若点P为直角顶点；或若点M为直角顶点，然后通过构造“一线三等角”模型，运用三角形全等，求得满足题意的M点坐标为第（3）小题对学生的思维能力提出了更高的要求，分化现象较为突出，部分学生无从下手，可能是时间比较仓促，也可能一时找不到解题思路，画不出相应的图形.其实借助辅助圆，根据动点N的不同位置，逐一画出满足题意的图形能各个击破，分类画出符合要求的图形（最好是分离后的简化图形，如图2～7），再细心观察，若能发现隐含信息，如O′A=O′N，则能找到问题解决的突破口.上述当四边形ANPQ是矩形时，若不借助辅助圆的观察、分析是难以发现的.可见，有效构图，能使条件整合，能给予解题导向，能作为解题的监控工具，能为不同水平的学生各尽所能提供有利的条件.

3.强化错题究因，为学生经验积累提供保障

数学学习的关键是解题.数学解题，如果就题论题，不认真领悟其中蕴含的重要数学思想和方法，就容易陷入题海之中，事倍功半.因此，针对学生解题中出现的错误，教师应把重点放在错题价值的挖掘上，对错误的“障碍点”进行重点“敲打”，努力使崎岖曲折的道路变得平直畅通，便于总结解题的一般规律.总结发现知识和技能中的“盲点”或“误区”，及时克服和弥补.回顾反思难点突破的过程，将有关的技能、技巧通过“上岗上线”，进一步与基本数学思想挂钩，并将它们组建成网络系统.对错题由此及彼，举一反三，广泛联想，求新应变，使学生收到“解一题，会一类，熟一片”之功效.

4.重视变式训练，为学生思维升华拓展空间

初三的解题教学应当多变式，一方面，起到系统知识，发散思维的作用；另一方面，通过变式训练和培养学生的问题分析能力，引导学生对数学问题从多层面、多角度进行延伸探究，有意识地引导学生从“变”的现象中分析“不变”的本质，从“本质”中发现规律.变式教学要围绕讲的目的性和针对性展开：明确是训练学生的计算能力，还是深化学生思维；是进一步巩固基础，还是提高学生能力；是提醒学生哪些地方易错，还是磨练学生解题意志.有效的拓展能更好地服务于讲，深化了讲，提升了课堂的质量.若能如此坚持，能使学生懂其原理，知其方法，通其变化，这样学生在不知不觉中既解决了问题，又获得了方法，也提高了数学思维能力，让学生的解题学习由懂到会、由会到熟悉、由熟悉到巧.

1.沈岳夫.以“本”为源巧建模提炼规律妙解题——对一类函数视角下平行四边形顶点坐标求解的研究［J］.中国数学教育（初中版），2014（11）.

2.赵军，魏先华.一道中考压轴题的命制过程与思考［J］.中学数学教学参考（中），2014（10）.

3.沈岳夫.例谈“极端化策略”法在解题中的运用［J］.中学数学杂志（下），2014（8）.

4.沈岳夫，孟江新.函数视角下动态型的相似三角形综合题探析［J］.中学数学（下），2015（5）.