矩形面积的特殊求法

朱亚邦

求矩形面积，除了常规方法，还可以根据不同问题的特征，采取特殊的方法.现介绍几种特殊方法，

一、由比例求面积

侧1如图1，在矩形ABCD中，EF，GH分矩形为四个面积不等的矩形，其中三个矩形的面积如图中所示，求S矩形EHM.

分析：矩形ABCD中的四個小矩形里，有些有公共边，它们的面积之比等于另两边的比.

解：设S矩形EBHM=x，则得S矩形GMFD/S矩形MHCF=S矩形AEMG/S矩形EBHM，故15/30=20/x.解得x=40，即S矩形EBHM=40.

二、由等积变换求面积

例2如图2，已知正方形ABCD的边长为5.矩形PDMN的边MN经过点A，且点P在边BC上，求S矩形PDMN.

解：连接AP，如图3.在正方形ABCD中，可知S△APD=1/2S正方形ABCD.

在矩形PDMN中，可知S△APD=1/2S矩形PDMN.

∴S矩形PDMN=S正方形ABCD=52=25.

三、由对称性求面积

例3如图4，正方形ABCD中，P为对角线AC上一点.HF过点P且HF⊥AD，EG过点P且EG⊥AB.已知AF=3，CF=4，试求矩形BFPE的面积.

分析：由已知条件可求得S矩形DGPH，又矩形DGPH和矩形BFPE关于AC对称，面积相等，故S矩形BFPE=S矩DGPH=3x4=12.

也可由△APE，△PCF都是等腰直角三角形，知PE=3，PF=4，得面积为12.

四、由折叠求面积

例4如图5，把矩形ABCD沿EF折叠，点B恰好落在边AD上的点B1处，若AE=2，DE=6，∠1=60°，求S矩形ABCD.

解：由折叠性质可知A1E=AE=2.由∠1=60°，可知∠3=∠2=∠4=60°.

因∠A1B1F=90°，故∠5=30°，则B1E=4.

在Rt△A1B1E中，可得

A1B1=√B1E2-A1E2=√42-22=2√3=AB.

而AD=2+6=8，所以S矩形ABCD=AB·AD=2√3×8=16√3.

五、由等底等高求面积

例5已知矩形ABCD和矩形BEFG的位置如图6所示，点G，B，C共线.BC=2AB，EF=2BE，S△ACF=9.S矩形ABCD.

解：如图7，连接BF.由EF⊥A8可得：S△ABF=1/2EF·AB.

由已知可得S△BCF=1/2BC·BE.

∵BC=2AB ，EF=2BE，

∴S△ABF=BE·AB，S△BCF=AB·BE，S△ABF=S△BCF

①

设CF交AB于H，由①可得S△AFH=S△BCH.

∴S△ACF=S△ABC=1/2S矩形ABCD，S矩形ABCD=2S△ACF=18.

数学奇景

√459756