爆炸条件下结构超压-冲量曲线简化计算研究

陈俊杰， 高康华, 孙　敖

(1.解放军理工大学 爆炸冲击防灾减灾国家重点实验室，南京　210007; 2.总参工程兵科研三所，洛阳　471023)

爆炸条件下结构超压-冲量曲线简化计算研究

陈俊杰1， 高康华1, 孙敖2

(1.解放军理工大学 爆炸冲击防灾减灾国家重点实验室，南京210007; 2.总参工程兵科研三所，洛阳471023)

超压-冲量(P-I)曲线可用于快速评估爆炸荷载作用下建筑结构的毁伤效应。基于单自由度等效体系运动方程和结构变形的理想弹塑性模型，在传统能量法基础上考虑阻尼影响，运用图像法计算阻尼耗能，得到了P-I曲线冲量区和准静态区的渐进线方程，在此基础上通过大量计算，得到了P-I曲线动态区的拟合公式。提出的简化计算公式与运用Newmark β法计算结构响应得到的P-I曲线相比较为一致，验证了所提方法的合理性。通过算例表明，随着延性比的增大，P-I图的冲量渐近线和准静态渐近线的值逐渐变小；随着阻尼比的增大，P-I图的冲量渐近线和准静态渐近线的值逐渐变大，且阻尼比对冲量渐近线影响明显。

超压-冲量(P-I)曲线;单自由度等效体系；理想弹塑性模型；阻尼；损伤评估

当前恐怖爆炸袭击和偶然性爆炸事故的不断发生，对人民生命和财产造成了极大的威胁。研究爆炸荷载对结构的破坏效应，对结构的抗爆设计和毁伤评估具有极其重要的意义。超压-冲量(P-I)曲线，又称等毁伤曲线，是通过结构动力响应计算确定给定破坏条件下一系列的超压和冲量，以此两个参数为坐标绘制P-I曲线图，描述最大响应值和动力系统特征参数的关系，可用于快速评估特定爆炸荷载作用下建筑结构的响应和毁伤效应[1-4]。针对P-I曲线的建立，许多学者展开了研究：Baker等[2]通过能量法得到弹性、刚塑性模型的P-I曲线的冲量区和准静态区图形，并提出了动态区的公式。Oswald等[3]通过类似方法，得到了理想弹塑性模型的P-I曲线的冲量区和准静态区图形，并提出了相应的动态区公式。Krauthammer等[4-5]通过求解封闭方程，直接求得弹性体系的等效P-I曲线方程。Li等[6-7]通过无量纲分析的方法，得到了弹性和弹塑性体系下归一化的P-I曲线，消除了荷载形状对P-I图的影响。Fallah等[8]在此基础上研究了弹塑性硬化和弹塑性软化模型的P-I曲线，Ma等[9]提出了一种同时考虑弯曲破坏和剪切破坏的P-I曲线确定方法，汪维等[10]提出了基于SDOF体系基础上钢筋混凝土构件考虑弯曲和剪切失效模式建立P-I曲线的方法，并给出相应的经验公式。随着计算机的发展，许多国内外学者通过LS-DYNA、ABAQUS等有限元程序分析了钢筋混凝土构件的P-I曲线。李忠献等[11]给出了混凝土板的P-I曲线，Huang等[12]给出了混凝土梁、柱的P-I曲线，师燕超等[13]给出了混凝土柱的P-I曲线，Wu[14]考虑了泡沫铝加强的混凝土构件的P-I曲线，Mutalib等[15]给出了FRP加强的混凝土柱的P-I曲线。Huang等[16]给出考虑多种失效模式的混凝土构件的P-I曲线。总的看来，P-I曲线主要基于结构动力响应分析得到，运用有限元等数值方法获取完整的P-I曲线需进行大量计算[4]。将结构视为单自由度等效体系(SDOF)，运用能量法获取P-I曲线时可使计算量大大减少，是当前计算P-I曲线时快速有效的方法，但目前多数基于SDOF假设计算P-I曲线的研究中均未考虑阻尼的影响。

本文在传统能量法的基础上进一步考虑阻尼耗能，基于SDOF无量纲动力方程和结构变形的理想弹塑性模型，运用Newmark-β数值计算方法进行了大量计算，提出了快速计算P-I曲线的简化方法，为建筑结构、构件的抗爆设计和快速损伤评估提供理论参考和技术支持。

1　基本理论

1.1单自由度等效模型

单自由度等效模型是将实际构件简化为单自由度等效体系，运动方程可按下式表示：

(1)

图1　简化的爆炸荷载的压力时程曲线Fig.1 Load time history curve of simplified explosive load

图2　理想弹塑性模型的抗力函数Fig.2 Resistant function of elastic perfectly-plastic model

为方便计算分析，选取一组无量纲参数，如式(2a)～(2g)：

(2a)

(2b)

(2c)

(2d)

(2e)

(2f)

(2g)

将式(2a)～(2g)代 入式(1)，可得

(3)

(4a)

对于图1所示三种荷载形式有

(4b)

其中当为矩形荷载时，λ=0,γ=0；当为三角形荷载时，λ=1,γ=0；当为指数形荷载时，λ=1,γ=2.8。

(5a)

(5b)

将初始条件式(5a)，式(5b)代入方程式(3)，由于0≤ξ<1，可以解得

(6)

将式(6)对τ求导，得

(7)

(8)

因此当τ=τe时的速度为

(9)

(10a)

(10b)

将初始条件式(10a)，式(10b)代入方程式(3)，可以解得

① 当ξ=0时

(11)

式(11)对τ求导，得

(12)

② 当ξ>0时

(13)

式(13)对τ求导，得

(14)

随τ的变化

随τ的变化图3　无量纲的位移时程和速度时程曲线Fig.3 The dimensionless time history curves of dimensionless displacement and dimensionless speed

1.2P-I图的特点及能量法

P-I曲线通常基于SDOF方法，假设构件为弯曲破坏形式，根据结构中点的最大挠度和确定的破坏等级，确定一系列对应的超压和冲量。通常引入以下无量纲形式的压力和冲量

(15a)

(15b)

若定义无量纲冲量i为

(16)

将式(2a)，式(2e)，式(2f)代入式(16)，则有

(17)

将式(17)代入式(15a)，式(15b)，得

(18a)

(18b)

因此为了求解一定荷载形式下，特定延性比ηc和阻尼比ξ的P-I曲线，只需保持其他条件不变，通过改变荷载条件p和τd组合后求解方程式(3)，使得

(19)

图4为无量纲P-I曲线的示意图，P-I曲线将图分为两个区域，曲线左下方区域(图中区域Ⅰ)，即曲线与坐标轴之间的区域，表示未到达破坏等级；曲线右上方区域即图中区域Ⅱ，表示超过破坏等级。P-I曲线从上到下分别为冲量区，动态区和准静态区，在冲量区和准静态区的渐近线分别有垂直和水平的渐近线。

图4　结构构件典型P-I曲线示意Fig.4 Typical P-I curve of a structural member

能量法通过能量守恒原理可快速确定P-I曲线的准静态渐近线和冲量渐近线。在准静态区，荷载持续的时间很长，结构达到最大位移前荷载衰减较小，该阶段外力做功可近似与体系应变能相等。外力可能的最大功为：

W.E=Fmym

(20)

应变能为抗力位移曲线所围面积

(21)

假设准静态区内外力做功全部转化为应变能

W.E=S.E

(22)

将式(20)～(22)联立，得到P-I曲线的准静态渐近线。

而在冲量区内，荷载持续时间很短，荷载结束后体系位移很小，因此可近似认为在此阶段内，动能全部转化为应变能。零时刻体系无应变能，输入的动能为

(23)

零时刻的动能最终转化为应变能

K.E=S.E

(24)

将式(21)，式(23)，式(24)联立，得到P-I曲线的冲量渐近线。

对于理想弹塑性模型应变能可写为

(25)

将式(25)代入式(20)～(24)中，可得到不考虑阻尼情况下理想弹塑性模型P-I曲线准静态渐近线和冲量渐近线的值。

2　P-I曲线的计算方法

对钢筋混凝土结构，爆炸荷载作用下结构最大位移通常出现在第一个振动周期内，此时阻尼对响应的影响较小，为此传统能量法计算P-I曲线渐近线时通常不计阻尼影响。但实际上系统阻尼是存在的，本文考虑阻尼对结构振动的影响，在传统能量法基础上引入阻尼耗能，确定考虑阻尼时P-I曲线的渐近线的方程。

由于P-I曲线反映的是结构的最大位移，所以此时阻尼耗能D.E可以表示为

(26)

将式(2b)，式(2c)代入式(26)得到

(27)

图5　无量纲速度位移曲线Fig.5 Dimensionless velocity displacement curve

若令

(28)

则有

(29)

(a) 不同区域的影响(b) 准静态区不同点的影响(c) 冲量区不同点的影响

(d) 阻尼比的影响(e) 荷载形状的影响图6 无量纲速度位移曲线的影响因素Fig.6Theinfluencefactorsofdimensionlessvelocitydisplacementcurve

表1　阻尼比对S的影响

表2　荷载形状对S的影响

由性质(3),(4)可知，阻尼比和荷载形状对S值很小。

2.1准静态区渐近线方程的求解

图7　准静态区的无量纲速度位移曲线随延性比的变化Fig.7 Dimensionless velocity displacement curve of quasi-static region changing with the ductility ratio

由图7可知，每种情况的图像大致可以为一段1/4圆和一个段不规则曲线，但对不同的η，该图像的形状有一定的差别。计算η=1,1.5,2,3,4,5时对应的S值，见表3。

表3　延性比准静态区的S值的影响

观察表3可知，S值大致为η的一次函数。以η为自变量，对S值进行拟合。

图8　准静态区S值与延性比的关系Fig.8 The relationship between quasi-static region S value and the ductility ratio

图8为计算点与拟合公式的对比，可见拟合效果较好，因此准静态区S值可以下式计算

S=0.677 2η-0.267 6

(30)

将求得的S值代入式(29)求得阻尼耗能。假设该阶段外力功全部转化为应变能和阻尼耗能

W.E=S.E+D.E

(31)

将式(20)，式(25)代入，得到准静态区的渐近线方程

(32)

其中S按式(30)计算。

2.2冲量渐近线的求解

图9　准静态区的无量纲速度位移曲线随延性比的变化Fig.9 Dimensionless velocity displacement curve of impulse region changing with the ductility ratio

延性比11.52345S0.7761.5912.5504.7927.45210.465

观察表4可知，S值大致为η的指数型函数。以η为自变量，对S值进行拟合。

图10　冲量区S值与延性比的关系Fig.10 The relationship between impulse region S value and the ductility ratio

图10为计算点和拟合数据的对比，可以看出公式拟合效果较好，因此冲量区区S值可以下式计算

S=0.864 5η1.551

(33)

将式(33)代入式(29)，可以得到动态区的阻尼耗能D.E。

假设系统零时刻的动能全部被应变能和阻尼耗能吸收，则

K.E=S.E+D.E

(34)

将式(23)，式(25)代入，得到冲量区的渐近线方程为

(35)

其中S按式(33)计算。

对于式(32)，式(35)，令ξ=0可以得到无阻尼理想弹塑性体系的准静态渐近线和冲量渐近线的方程，与文献[8]结果一致。

2.3动态区拟合公式

能量法仅能确定准静态区和冲量区的渐近线方程，而动态区P-I曲线一般呈双曲线形式，文献[3][4]给出了等效P-I曲线动态区的公式：

(36)

图11　无阻尼时的拟合曲线与计算值对比Fig.11 Fitting curve compared with calculated value under undamped condition

而当在P-I曲线中加入阻尼的影响时，拟合曲线时不但要考虑阻尼对渐近线值的影响，也要考虑阻尼对曲线形状的影响，而改变式(36)中的参数无法改变曲线的形状。对无阻尼的理想弹塑性体系，式(36)的C，D为常数，因此不妨假设考虑阻尼的动态区公式具有如下的形式：

(37)

式(37)中A，B分别表示准静态渐近线和冲量渐近线的值，用式(32)(34)计算出，C为荷载形状影响的常数，n为受ξ和η影响的参数。对矩形荷载的取C=0.015 5。

这样，式(37)中只有一个n为未知量。通过式(19)给出的方法，可以计算出P-I上的点。以η=1,2,3，ξ=0,0.05,0.1的9种情况为参照，将其P-I曲线的点计算出来，再用式(37)对每个P-I曲线进行拟合。表5为拟合的计算过程和结果，其中每一组的平方差均大于0.98。以ξ和η为变量，对n进行拟合。可以得到的n拟合公式为

n=1.061+0.091 55η+0.052 97ξ+

0.051 92ξη+0.008 2ξ2

(38)

其中拟合的R2=0.957。

表5　拟合计算结果

这样得到了矩形荷载作用下，考虑延性比和阻尼比理想弹塑性体系的动态区拟合公式。按照同样方法，可以求出三角形荷载和指数形荷载作用下的参数n，建立相应的P-I曲线动态区拟合公式。

3　算例分析

3.1算法对比

文献[4-5]验证了使用数值方法计算P-I曲线时有较好的精度，同时文献[4]也指明了使用数值方法计算P-I曲线需要较大的计算量和较高的精度。在动力分析中，钢筋混凝土结构的延性比一般不超过5，阻尼比也一般介于5%～10%之间。通过算例，取常见的两种工况，将本文方法与文献[4-5]提出的数值方法计算出的P-I曲线进行对比。

图12　数值方法和拟合公式结果对比Fig.12 The results of numerical method and the fitting formula

从图12可以看出，两种方法总体上吻合程度较好。从表6可以看出，在冲量区和准静态区，拟合公式相对偏差小于2%，在动态区误差也在5.51%内，总体偏差在10%内，体现了公式较好的适用性。使用数值方法建立P-I曲线需要大量的计算，本文方法在保证精度地同时可以大大减小计算量，更加快速的建立P-I曲线。

3.2参数影响分析

为了分析参数的影响，以式(32)、(35)、(37)、(38)为基础，对矩形荷载作用下的不同延性比和阻尼比的理想弹塑性体系，建立并分析其P-I曲线，研究延性比和阻尼比对P-I曲线的影响。

3.2.1延性比

保持阻尼比不变，研究延性比对P-I曲线的影响。图13为ξ=0，η=1,2,3,4时将所得的P-I曲线。可以看出，随着延性比的增大，P-I图的冲量渐近线和准静态渐近线的值变小。对于弹性极限位移一定的构件，延性比越大构件越不易被破坏。

图13　延性比对P-I曲线的影响Fig.13 Influence of ductility ratio on P-I curves

计算方法第一组A点B点C点第二组D点E点F点数值方法1.02030.61240.42860.73910.82360.4286拟合公式1.01910.61060.43540.75270.86900.4354相对偏差/%-0.12-0.291.591.855.511.59

3.2.2阻尼比

图14　阻尼比对P-I曲线的影响Fig.14 Influence of damping ratio on P-I curves

4　结　论

(1) 在能量法基础上，加入阻尼耗能的影响，运用无量纲的运动分析，求解了考虑阻尼情况下理想弹塑性模型的P-I曲线渐近线方程，并给出了P-I曲线的动态区拟合公式。以数值方法为参考，对拟合公式进行了验证，结果表明了拟合公式与数值方法较好的一致性，可以运用拟合公式快速建立P-I曲线。

(2) 随着延性比的增大，P-I图的冲量渐近线和准静态渐近线逐渐变小。提高构件的延性比，可以提高构件的抗爆性能。

(3) 随着阻尼比的增大，P-I图的冲量渐近线和准静态渐近线逐渐变大。阻尼比对冲量渐近线影响明显，说明提高构件阻尼比，可以提高构件的抗爆性能。

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Simplified calculation method for pressure-impulse curve of a structure under blast load

CHEN Jun-jie1, GAO Kang-hua1, SUN Ao2

(1. State Key Laboratory for Disaster Prevention and Mitigation of Explosion and Impact, PLA University of Science and Technology, Nanjing 210007, China;2. The Third Engineer Scientific Research Institute of General Staff, Luoyang 471023, China)

Pressure-impulse (P-I) curves can be used to quickly assess damage effect of a structure under blast load. Based on motion equations of an equivalent single-DOF system and structural deformation’s ideal elaso-plastic model, damping effect was considered with the traditional energy method, and damping energy dissipation was calculated by using the image method. The asymptote equations of quasi-static region and impulse region of a P-I curve were obtained, and the fitting formulas for dynamic region of a P-I curve were obtained through a large amount of calculation. The calculation results with the proposed simplified calculation formulas agreed well with P-I curves obtained using structural analysis of Newark method. The rationality of the proposed method was verified. The calculation results showed that the values of impulse asymptote and quasi-static asymptote decrease with increase in ductility ratio; the values of impulse asymptote and quasi-static asymptote increase with increase in damping ratio, and the damping ratio has an obvious effect on impulse asymptote.

pressure-impulse curve; single-DOF system; elastic ideal elaso-plastic model; damping effect; damage assessment

10.13465/j.cnki.jvs.2016.13.036

国家自然科学基金青年基金项目(51308542);国家自然科学创新研究群体科学基金(51021001)

2015-07-06修改稿收到日期：2015-12-15

陈俊杰 男，硕士生，1991年生

高康华 男，博士，1983年生

O322;TU312.1

A