函数零点个数问题透析及解题策略

◇　山东　田　巍



函数零点个数问题透析及解题策略

◇山东田巍

随着高考改革的不断推进,函数零点问题由以前的单一知识向着纵深发展;设计的题型既增加了思维量又加大了难度.现就将解决这类问题的方法及策略总结如下,供备考同学们参考使用．

1运用零点存在性定理

①a=-3,b=-3; ②a=-3,b=2;

③a=-3,b>2; ④a=0,b=2; ⑤a=1,b=2.

2运用数形结合思想

A(7/4,+∞);B(-∞,7/4);

C(0,7/4);D(7/4,2)

所以y=f(x)+f(2-x)=

y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b.

图1

所以y=f(x)-g(x)恰有4个零点等价于方程f(x)+f(2-x)-b=0有4个不同解, 即函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个公共点,如图1，由图象可知7/4

3运用等价转化思想

综上,a的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).

4运用分类讨论思想

(1) 若a=1,则f(x)的最小值为________;

(2) 若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是________.

若函数g(x)=2x-a与x轴无交点,则函数h(x)=4(x-a)(x-2a)与x轴有2个交点,当a≤0时g(x)与x轴无交点,h(x)=4(x-a)(x-2a)在x≥1与x轴无交点,不合题意;当g(1)=2-a≤0时,a≥2,h(x)与x轴有2个交点,x=a和x=2a,由于a≥2,两交点横坐标均满足x≥1.

总之,与函数零点有关的高考题目,一般通过零点存在性定理、数形结合、等价转化、分类讨论等思想方法解决.只要掌握这几点,有关函数零点问题就会轻松解决．

(作者单位：山东省平度第一中学)