型A半群的Vagner－Preston表示

郭 茜，喻秉钧

(1．成都师范学院数学学院，四川成都610041; 2．四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066; 3．成都文理学院数学教研室，四川成都610101)

型A半群的Vagner－Preston表示

郭 茜1，喻秉钧2，3

(1．成都师范学院数学学院，四川成都610041; 2．四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066; 3．成都文理学院数学教研室，四川成都610101)

逆半群的著名的Vagner－Preston表示定理是群的经典Cayley表示定理向逆半群的一个推广．将这个结果进一步推广到了型A半群上，给出了型A半群的Vagner－Preston表示定理，证明了任一型A半群都是某对称逆半群的型A子半群，此结论也体现了型A半群在富足半群中的地位正恰如逆半群在正则半群中的地位．通过2个例子说明，既存在不是型A半群的恰当半群S，使ø是S的一个表示;也存在不是型A半群的恰当半群S，使ø不是一个表示．于是就富足半群类而言，该表示不能推广．

恰当半群;型A半群;同态;Vagner－Preston表示

1 预备知识

俄国数学家V．V．Vagner［1］和英国数学家G．B．Preston［2］分别于1952和1954年独立发现，任一非空集X上的1－1部分变换(即X中2个子集合之间的双射)之全体所成集合I(X)在部分变换的乘积运算下成为一个逆半群，称为对称逆半群．他们还证明了以下关于逆半群的著名的 Vagner－Preston表示定理，简称为V－P表示．

Vagner－Preston表示定理［3］任一逆半群S都是某对称逆半群的逆子半群．更准确地说，对任意a∈S定义øa满足:，且对任意x∈Saa－1有，则，而是从S到I(S)的单同态．

它恰是关于群的Cayley表示定理(任一群G都是某集合上对称群Sym G的子群)向逆半群的推广．本文将这个结论进一步推广到型A半群上，自Green*等价关系的引入，富足半群、恰当半群和型A半群等典型的广义正则半群，成为了国内外半群学者研究的热点［4－6］．尤其是其中的型A半群，尽管它们一般不正则，但由于幂等元集构成半格，且具有类似于正则半群中幂等元的连通性，使其成为推广逆半群研究中丰硕成果的最好对象［7－10］．本文中一般定义及记号均参见文献［11－14］．

设S为半群．下述二元关系称为S上的Green*－关系:

在正则半群中，有K*=K，(K=L，R，H，D)．

若半群S的每个L*－和R*－类都含有幂等元，则称S为富足半群．若富足半群S的幂等元集E(S)是半格(交换幂等元子半群)，则称S是恰当半群．恰当半群S中每个L*－、R*－类恰含一个幂等元，约定把元素a∈S所在的L*－、R*－类中那个惟一的幂等元分别用a*、a+表示有

命题1．1［13］设S是恰当半群，幂等元集E是半格，那么a，b∈S有:

2)(ab)*=(a*b)*，(ab)+=(ab+)+;

3)(ab)*≤b*，(ab)+≤a+．这里≤是E上通常意义下的偏序关系．

所谓型A半群是一类特殊的恰当半群，定义如下:

定义1．2［14］恰当半群S称为型A半群，若有

2 型A半群的V－P表示

在文献［15］中用非空集X上的所有部分变换(即从X的某子集到另一子集的满射)所成对称弱逆半群PJ(X)代替I(X)，对型A半群证明了类似的表示定理:

定理2．1［15］设S是型－A半群，记X=S作为集合，则存在S到PJ(X)的单同态映射．

发现这个表示，事实上是型A半群S嵌入对称逆半群I(S)的表示，即有:

定理2．2 任一型A半群S都是某对称逆半群的型A子半群．更准确地说，对任意a∈S定义满足:，且对任意x∈Sa+有，则，而是从S到I(S)的单同态．对任意a∈S，(S的像集合)的充要条件是a∈Reg S(S的所有正则元之集);因而特别地，当S是逆半群时，恰为V－P表示．

显然，ø是集合S上的一个部分映射．证明对任意a∈S有øa∈I(S)．事实上，对任意

有s，t∈S使

若有

即

由aR*a+，有sa+=ta+，即x=y．

为证明ø单，设øa=øb，a，b∈S，那么

由E(S)是半格立得a+=b+．于是有

由于R*是左同余和每个R*－类只有一个幂等元，有下述推理

于是，由R*的性质和S是型A的，又有如下推理

另一方面，由a+a=a有a+ab=ab，故

这说明

从而

即

由此立得

反之，对任意

有t，u∈S使得

由aa*=a和E(S)是半格有

(E(S)是半格)

(由aR*a+)

(由(ab+)+=(ab)+=(ab)+a+)．

因而

故

显然，2个有相同定义域的部分变换只要对其定义域中每个元素的作用也相同，则两者必相等．而

注意到此时有

有

因而得到øab=øaøb．这就证明了ø是同态，从而是S的一个忠实表示．

进而，每个øa是从Sa+到Sa上的双射．事实上，对任意xa∈Sa，x∈S，由于a+a=a有

由ø是单同态，立得aa'=a+．从而

故a∈Reg S．反之，若a∈Reg S，则由Reg S是一个逆半群，有a－1∈S使得aa－1=a+，且(a－1)+= a*La，故得

这就得到

注2．3 以上定理的证明说明，若a是型A半群S的非正则元，尽管也是双射(因而是I(S)的正则元)，但它不是的正则元．

例2．5 设N是自然数集，I=N×N．在S= N∪I上定义运算·如下:

可以验证S是一个半群．E(S)={0，(0，0)}，R*－类为N和I，记J={(m，0):m∈N}，则L*－类为J和SJ．可以看出，每个L*－类和每个R*－类都分别含幂等元0和(0，0);且幂等元集E(S)是二元半格．因此S是一个恰当半群．但是对任一非0正整数m有

因而S不是型A半群．

该半群“蛋盒图”如下:

可以验证ø是S的一个表示．

例2．6 设A是生成元为a的无限单演半群，B是生成元为b的无限单演幺半群，其单位元为e．令

定义S上的乘法使1是S上单位元，这个乘法在A和B上的限制就是A和B自身的乘法，而A中元素与B中元素的乘法由下式定义:

其中，m ＞0，n≥0，b0=e．

可以验证S是一个半群．

E(S)={1，e}，L*－类为A∪{1}和B，R*－类为A∪B和{1}，H*－类为{1}、A、B．可以看出每个L*－类和每个R*－类含幂等元，且幂等元交换，因此S是一个恰当半群，其D*－类的“蛋盒图”如下:

因为b=ab0=ae≠(ae)+a=b+a= ea=b0a=a．

所以S不是型A半群．

因此

即ø不是一个表示．

［1］VAGNER V V．Generalized groups［J］．Doklady Akademii Nauk SSSR，1952，84:1119－1122．

［2］PRESTON G B．Inverse semi－groups［J］．J London Mathematical Society，1954，29:396－403．

［3］HOWIE J M．Fundamentals of Semigroup Theory［M］．London:Calrendox Press，1995:186－186．

［4］MEDGHALCHI A R，POURMAHMOOD－AGHABABA H．Figa－Talamanca－Herz algebras for restricted inverse semigroups and Clifford semigroups［J］．J Math Anal Appl，2012，395(2):473－485．

［5］孙燕，任学明，宫春梅．具有左中心幂等元的U－富足半群［J］．数学杂志，2015，35(4):833－840．

［6］王春茹，喻秉钧．强右C－wlpp半群［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2015，38(2):164－168．

［7］商宇，汪立民．型A ω2－半群［J］．数学进展，2015，44(4):519－529．

［8］李勇华，乐文．* －双单型A半群［J］．数学进展，2014，43(3):341－354．

［9］郭茜，喻秉钧．型A半群在其*－闭子半群的右ω－陪集上的表示［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2009，32(2): 176－178．

［10］SHANG Y，WANG L M．The isomorphism theorem of* －bisimple type A ω2－semigroups［J］．J Math Res Appl，2013，33(2):231－240．

［11］PASTIJN F．A representation of a semigroup by a semigroup of matrices over a group with zero［J］．Semigroup Forum，1975，10: 238－249．

［12］FOUNTAIN J B．Aundant semigroups［J］．Proc London Math Soc，1982，44:103－129．

［13］FOUNTAIN J B．Adequate semigroups［J］．Proc Edinburgh Math Soc，1979，22:113－125．

［14］LAWSON M V．The structure of type－A semigroups［J］．Quart J Math Oxford，1986，37(2):279－298．

［15］卢占化，冯秀峰．Type－A半群的表示［J］．河南师范大学学报(自然科学版)，2007，35(1):40－41．

The Vagner-Preston Representation of a Type-A Semigroup

GUO Qian1，YU Bingjun2，3

(1．College of Mathematics，Chengdu Normal College，Chengdu 610041，Sichuan; 2．College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan; 3．Office of Mathematics and Researching，Chengdu College of Arts and Sciences，Chengdu 610101，Sichuan)

The famous Vagner-Preston representation theorem of inverse semigroups is a generalization of the classical Cayley representation of groups to inverse semigroups．In this paper we generalize further it to type-A semigroups and give the Vagner-Preston representation of type-A semigroups．We prove that any type-A semigroup is a type-A sub-semigroup of the symmetric inverse semigroup．This conclusion also reflects the fact that type-A semigroup in abundant semigroups is as inverse semigroups in regular semigroups．And then，we also give examples to show that，there exist adequate semigroups which are not type-A semigroups，make the mapping a representations;and there also exist adequate semigroups which are not type-A semigroups，do not make the mapping representation．So in the class of abundant semigroups it can not be generalized any more．

adequate semigroup;type-A semigroup;homomorphism;the Vagner-Preston representation

O152．7

A

1001－8395(2016)04－0518－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．010

(编辑 余 毅)

2015－04－21

国家自然科学基金(11371205)

郭 茜(1982—)，女，讲师，主要从事半群代数理论的研究，E－mail:634672198@qq．com

2010 MSC:20M30