∞－余纯投射模

施莉娜，王芳贵，熊 涛

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

∞－余纯投射模

施莉娜，王芳贵*，熊 涛

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

设R是环，F∞表示平坦维数有限的左R－模类．左R－模M称为∞－余纯投射模，指对任意N∈ F∞都有．证明∞－余纯投射模M是投射模当且仅当M∈F∞，同时证明当l．FFD(R)=0时，余纯投射模是∞－余纯投射模．用∞－余纯投射模刻画QF环和CPH环，证明R是QF环当且仅当每一左R－模是∞－余纯投射模，当且仅当每一N∈F∞是内射模．也证明了R是CPH环当且仅当∞－余纯投射左R－模的子模是∞－余纯投射模，当且仅当每一N∈F∞的内射维数不超过1．

余纯投射模;平坦模;∞－余纯投射模;QF环;CPH环

1 预备知识

E．E．Enochs等［1］引入余纯内射模和强余纯内射模的概念，左R－模M称为余纯内射模是指对任意内射左R－模E，都有．左R－模M称为强余纯内射模是指对任意内射左R－模E，及所有i≥1，都有．E．E．Enochs等［2］又提出余纯平坦模和强余纯平坦模的概念．右R－模N称为余纯平坦模是指对任意内射左R－模E，都有．右R－模N称为强余纯平坦模是指对任意内射左R－模E，及所有i≥1，都有．在文献［2］中，可以看到余纯内射模和余纯平坦模在刻画n－Gorenstein环中发挥重要作用．

J．Z．Xu［3］定义了余挠模，R－模M称为余挠模是指对一切平坦模F，有1．并用余挠模刻画了完全环，给出了平坦盖的相关性质．E． Enochs等［4］引入了－挠模的概念，这与余挠模是对偶的．R－模M称为－挠模，是指对一切平坦模F，有HomR(M，F)=0，且，借助于ø－挠模的讨论，给出了模有的平坦包相关性质刻划，相关研究参见文献［1－7］．

X．H．Fu等［8］引入了余纯投射模和强余纯投射模的概念，以及n－余纯投射模的概念．用F表示平坦模类，Fn表示平坦维数不超过n的模类．左R－模M称为n－余纯投射模，是指对任何模N∈ Fn，都有;M称为强余纯投射模，是指对任何模N∈F，以及任何i≥1，都有=0;0－余纯投射模也简称为余纯投射模．显然强余纯投射模是n－余纯投射模，n－余纯投射模是余纯投射模．利用余纯投射模的概念，给出QF环的新刻画，证明了R是QF环当且仅当每一左R－模的是余纯投射模．

熊涛等［9］讨论了余纯投射模的遗传性质，引入了CPH环的概念，并且讨论了CPH环与遗传环的关系．环R称为左CPH环，简称为CPH环，是指每一余纯投射左R－模的子模是余纯投射模．相应地，文献［10］也讨论了n－余纯投射模，并利用n－余纯投射模引入相对遗传环的概念．本文引入和讨论∞－余纯投射模的概念，指出投射模、强余纯投射模、∞－余纯投射模、n－余纯投射模和余纯投射模的一些关系，并以此给出QF环和CPH环的一个新刻画，即证明了R是QF环当且仅当每一左R－模是∞－余纯投射模;R是CPH环当且仅当∞－余纯投射左R－模的子模还是∞－余纯投射模，当且仅当左R－模每个平坦维数有限的模N的内射维数不超过1(定理2．10)．

在下面正文中所有的模都指左模，并用F∞表示平坦维数有限的模类．

2 ∞－余纯投射模

设R是环，R－模M称为∞－余纯投射模，是指对任何模N∈F∞，都有

1)投射模自然是∞－余纯投射模;

2)对任何n≥0，∞－余纯投射模是n－余纯投射模．

命题2．1 设R是环．如果M是强余纯投射模，则M是∞－余纯投射模．

证明 设M是强余纯投射模，由文献［8］，对任意N∈F∞，有，所以M是∞－余纯投射模．

定理2．2 对R－模M，以下各条等价:

1)M是∞－余纯投射模;

2)任何正合列0→N→B→M→0是分裂的正合列，其中N∈F∞;

3)设0→A→B→C→0是正合列，其中A∈F∞，则

也是正合列;

4) 设0→A→B→M→0是正合列，则对任何N∈F∞有

也是正合列．

证明 1)⇔4)因为M是∞－余纯投射模，对任意N∈F∞有正合列

是正合列，于是α*是满射，所以存在h:B→N，使得α*(h)=hα=1N，从而该正合列是分裂的．

是正合列．

由条件HomR(M，E)→HomR(M，E/N)→0是正合列，于是得到正合列，因此有，即M是∞－余纯投射模．

命题2．3 1)设0→A→B→C→0是正合列．若A、C是∞－余纯投射模，则B是∞－余纯投射模．

2)设{Mi}是一簇R－模，则是∞－余纯投射模当且仅当每一Mi是∞－余纯投射模．

证明 1)对任意N∈F∞，由于A、C是∞－余纯投射左R－模，有由正合列

2)对任意N∈F∞，有自然同构1，所以当且仅当右边每一项

命题2．4 设R是交换环，P是投射R－模．如果M是∞－余纯投射R－模，则是∞－余纯投射模．

证明 对任意T－模N，且fdTN＜∞．由平坦维数的换环定理，有fdRN≤fdTN+fdRT＜∞．设0→N→E→C→0是正合列，其中E是内射T－模，则有下面的2行是正合列的交换图(图1)．

推论2．6 设ø:R→T是环同态，且T是平坦右R－模．设M是∞－余纯投射R－模，则是∞－余纯投射T－模．

推论2．7 设R是交换环，S是R－的乘法封闭集．设M是∞－余纯投射R－模，则MS是∞－余纯投射RS－模．

推论2．8 设M是∞－余纯投射R－模，则M［x］是∞－余纯投射R［x］－模．

命题2．9 设R是交换环，P是有限生成投射R－模．如果 M 是∞－余纯投射 R－模，则HomR(P，M)是∞－余纯投射模．

证明 对任意N∈F∞，由文献［12］有自然同构因为M是∞－余纯投射模，则，从而，故HomR(P，M)是∞－余纯投射模．

下面来看什么情况下∞－余纯投射模是投射模．

定理2．10 设M是∞－余纯投射R－模，则M是投射模当且仅当fdRM＜∞，于是∞－余纯投射模不是投射模时，一定有平坦维数是无穷大．

证明 设fdRM＜∞，0→K→P→M→0是正合列，其中P是投射模，于是K∈F∞．由定理2．4知此正合列分裂，故M是投射模．反之是显然的．

由定理2．12可以得出如下推论:

推论2．11 设w．gl．dim(R)＜∞，则每一∞－余纯投射模是投射模．

3 环的刻画

QF环是一个经典的环类．有一些经典的刻画，例如，它等价于说投射模是内射模，或等价于说平坦模是内射模，也等价于内射模是投射模［3］．文献［8］证明了R是QF环当且仅当每一R－模是余纯投射模．现在也可以用前面定义的∞－余纯投射模来刻画QF环．

定理3．1 对环R，以下各条等价:

1)R是QF环;

2)每一平坦模是内射模;

3)每一R－模是强余纯投射模;

4)每一R－模是∞－余纯投射模;

5)每一有限生成R－模是∞－余纯投射模;

6)每一循环R－模是∞－余纯投射模;

7)每一N∈F∞是内射模;

8)每一内射R－模的商模是∞－余纯投射模．

2)⇔1)显然．

2)⇔3)设M是R－模．对任何平坦模F，则F是内射模，故对任何k＞0，有，因此M是强余纯投射模．

对R的任何左理想I，由假设有R/I是∞－余纯投射模，于是有．因此，N是内射模．

7)⇔2)平凡的．

4)⇔8)这也是平凡的．

8)⇔3)对任意N∈F∞，取正合列0→N→E→M→0，其中E是内射模，M=E/N．由假设M是∞－余纯投射模，因此，从而任何正合列0→N→E→M→0是分裂的，故是N内射模．

在文献［9］中给出了余纯投射遗传环(CPH)的定义．环R称为左CPH环，简称为CPH环，是指余纯投射R－模的子模是余纯投射模，并在文献［9］中指出环R为CPH环当且仅当每个平坦模的内射维数不超过1．下面用∞－余纯投射模给出CPH环的新刻画．

定理3．2 对环R，以下各条等价:

1)R是CPH环;

2)若N是平坦模，则idRN≤1;

3)若N∈F∞，则idRN≤1;

4)∞－余纯投射R－模的子模是∞－余纯投射模;

5)投射R－模的子模是∞－余纯投射模;

6)自由R－模的子模是∞－余纯投射模;

7)R的每个左理想是∞－余纯投射模．

3)⇔5)设0→A→P→X→0是正合列，其中P是投射模，则对任何N∈F∞，由正合列

注意左边方图是推出图，从而有0→K→P→A→B→0是正合列．由假设，K是∞－余纯投射模．由命题2．5的1)有P→A是余纯投射模．由命题2．5的2)有A是∞－余纯投射模．

推论3．3 设R是CPH环，M是R－模，则M是∞－余纯投射模当且仅当对任何N∈F∞，及任何n≥1，有

命题3．4 设R是CPH环，0→A→B→C→0是正合列，如果C是∞－余纯投射模，则A是∞－余纯投射模当且仅当B是∞－余纯投射模．

证明 对任意N∈F∞有正合列

环的左弱finitistic维数为

下面给出余纯投射模是∞－余纯投射模的一个充分条件．

定理3．5 若l．FFD(R)=0，则余纯投射模是∞－余纯投射模．

证明 设 M是余纯投射 R－模．对任何N∈RM，若fdRN＜∞，由假设fdRN=0，故N)=0，于是得到M是∞－余纯投射模．

在文献［14］中称环R为右IF环，当且仅当每一内射右R－模是平坦模．当R是左凝聚环时，证明R是右IF环当且仅当R是左FP－内射模．

推论3．6 设R是右IF环，则余纯投射模是∞－余纯投射模．

证明 由 于 R 是 右 IF环，容 易 看 到l．FFD(R)=0．应用定理3．5即得．

推论3．7 环R是右IF环当且仅当R是左凝聚环且每一有限表现R－模是∞－余纯投射模．

证明 设R是右IF环．由文献［15］知R是左凝聚环．由文献［14］得R是FP－内射模，所以每个有限生成自由模是FP－内射模．对任意平坦模N，由文献［11］有N=lim→Fi，其中Fi是有限生成自由模．又因为M是有限表现模，根据文献［16］有

从而M是余纯投射模，由推论3．6得M是∞－余纯投射模．

反之，设M是有限表现R－模，由条件M是∞－余纯投射模，而 R作为 R－模是平坦模，故是FP－内射模．由于R是左凝聚环，引用文献［14］知R是右IF环．

文献［8］定义了模M的余纯投射维数m=cpd(M)为使得对所有i＞0，及所有平坦模R－模成立的最小非负整数，也等价

于M的余纯投射分解的最短长度．他们还定义了环的余纯投射维数为

命题3．8 设M是余纯投射模．若cpd(M)≤1，则M是强余纯投射模．

证明 由文献［8］即得．

在文献［17］中定义了环的(左)内射－平坦维数为

l．IFD(R)=sup{fdRE|E是内射模}．文献［17］也证明了若 R是右凝聚环，则 FP－id(RR)=l．IFD(R)．

命题3．9 设R是右凝聚环，且FP－id(RR)＜∞，则模M是∞－余纯投射模当且仅当M是强余纯投射模．

证明 由文献［8］即得．

例3．10 在文献［10］中已经给出了一个环R，使得对任何n≥2，存在一个(n－2)－余纯投射模不是n－余纯投射模．由此自然得到，对这个环R，以及任何n≥0，存在一个n－余纯投射模不是∞－余纯投射模．

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∞-copure Projective Modules

SHI Lina，WANG Fanggui，XIONG Tao

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be a ring and denote by F∞the class of left R-modules with finite flat dimension．A left R-module M is called∞-copure projective iffor all N∈F∞．In this paper we prove that an∞-copure projective module M is projective if and only if M∈F∞，and that if l．FFD(R)=0 then every copure projective left R-module is∞-copure projective．Then we characterize QF and CPH rings in terms of∞-copure projective modules，and prove that R is QF ring if and only if every left R-module is∞-copure projective if and only if every N∈F∞is injective．We also prove that R is CPH ring if and only if every submodule of an∞-copure projective left R-module is∞-copure projective if and only if idRN≤1 for all N∈ F∞．

copure projective module;flat module;∞-copure projective module;QF ring;CPH ring

O154

A

1001－8395(2016)04－0479－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．003

(编辑 郑月蓉)

2015－04－29

国家自然科学基金(11171240)

*通信作者简介:王芳贵(1955—)，男，教授，主要从事交换代数、同调代数与代数K－理论的研究，E－mail:wangfg2004@163．com

2010 MSC:16D40;16E30