广义集值变分不等式的强制性条件

李择均，何诣然

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

广义集值变分不等式的强制性条件

李择均，何诣然*

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

通过引入一些强制性条件，获得一些广义集值变分不等式解的存在性的结果，其中涉及到的算子f是最近被S．Laszló介绍的ql型算子，同时，发现一个关于ql型算子的开映射定理，作为应用，建立了一个扰动的广义集值变分不等式解集的扰动分析．

广义集值变分不等式;强制性条件;ql型算子;扰动

1 预备知识

设(X，‖·‖)为实Banach空间，X*为X的对偶空间，K⊆X为非空闭凸子集．设T:K→2X*为非空集值映射，映射f:K→X，〈·，·〉表示对偶集X*和X上的数量积．所谓的广义集值变分不等式GVI(T，f，K)是指:求 x∈K，使得存在x*∈T(x)满足

特别地，若映射f是K上的恒等映射时，则广义集值变分不等式GVI(T，f，K)退化到经典的集值变分不等式VI(T，K)．VI(T，K)是指:求x∈K，使得存在x*∈T(x)满足

M．A．Noor在文献［1］中考虑如下变分不等式:设H是Hilbert空间和为非空闭凸集．设T:H→H，f:H→H，映射T和f都是连续映射，求x∈K，使得f(x)∈K，满足

当f(K)=K时，(1)式和M．A．Noor［1］提出的变分不等式本质上为同一问题．J．C．Yao［2］研究了(1)式的变分不等式问题，其中所涉及的算子f为连续线性算子．S．Laszló［3］扩展了J．C．Yao的研究，将所涉及的算子f拓展为比线性算子更为广泛的ql型算子．当K是弱紧集时，文献［2－4］已经证明了一系列的GVI(T，f，K)解的存在性结果．然而，当K不是弱紧集时，广义集值变分不等式的解的存在性结果较少，见文献［2］的推论3．4和文献［4］的定理3．2．当K没有紧性时，在文献［3］的基础上引入了几个强制性条件，并且证明了广义集值变分不等式的解的存在性，见本文定理4．1和定理4．2．

文献［3］介绍了ql型算子并证明了它的许多性质，例如:线性算子是ql型算子，但反之不一定成立．本文证明了一个关于ql型算子的开映射定理，见本文定理2．4．特别地，当f为线性算子时能够退化为已知的开映射定理．应用获得的开映射定理得到了一个GVI(T，f，K)解的存在性结果，见本文推论4．6．

研究扰动变分不等式的解集性质已经成为数学规划的一个主要内容之一，见文献［5－10］．本文应用获得的结论研究一个扰动的广义集值变分不等式GVI(T+εf，f，K)．GVI(T+εf，f，K)是指:求x∈K和x*∈T(x)，使得

为非空闭凸子集，T:K→2Rn为上半连续且具有非空紧凸值的集值映射，f:Rn→Rn为连续的ql型算子且为双射．在一个强制条件下，证明GVI(T+εf，f，K)有解和解集{S(T+εf，f，K):t∈(0，ε］}有界，其中ε＞0．特别地，当f为恒等映射时，本文定理5．1和定理5．2能退化为文献［6］中的定理4．1和定理4．5．

本文包含5个节．下一节介绍了需要使用的ql型算子的性质和证明了ql型算子的一个新的性质．第三节回忆广义变分不等式GVI(T，f，K)解的存在性的结论和介绍了一些强制性条件．第四节通过使用强制性条件建立一系列GVI(T，f，K)解的存在性结果．第五节研究了一个扰动的广义集值变分不等式．

2 ql型算子

设x，y∈K，［x，y］表示从点x到点y的连线段，故［x，y］={tx+(1－t)y:t∈［0，1］}．(x，y)表示线段［x，y］去掉端点x和y．co{D}表示集合D的凸包．一个拓扑空间如果任意2个不同的点各自有一个开领域互不相交，则称这个拓扑空间是一个Hausdroff空间，或T2空间．例如度量空间是T2空间，更多的T2空间内容见文献［11］．由文献［12］的命题3．3知弱拓扑σ(X，X*)为T2空间．对于r＞

命题2．1［3］设函数．函数f为单调递增(递减)当且仅当对任意a，b∈I，a≤b，z∈［a，b］∩I，都有f(z)∈［f(a)，f(b)］(相应地，f(z)∈［f(b)，f(a)］)．函数f为严格单调递增(递减)当且仅当对任意a，b∈I，a≤b，z∈［a，b］∩I，都有f(z)∈(f(a)，f(b))(相应地，f(z)∈(f(b)，f(a)))．

定义2．1［3］设X和Y是2个线性空间和算子f:D⊆X→Y．如果对任何x，y∈D和z∈［x，y］∩D，都有f(z)∈［f(x)，f(y)］，那么算子f被称为ql型算子．

命题2．2［3］设函数是ql型算子当且仅当f为单调递增(递减)函数．

命题2．3［3］设X和Y是2个线性空间和f:X→Y是一线性算子，则f是ql型算子．

注2．1［3］从命题2．1和命题2．2容易得出，f:R→R是ql型算子，但不一定是线性算子．

定义2．2［3］设X是一个线性空间，是凸集．函数f:称为拟凸函数，若对任意x，y∈D和t∈［0，1］，使得

若函数－f是拟凸函数，则f称为拟凹函数．当f既是拟凸函数，又是拟凹函数，则f称为拟线性函数．

命题2．4［3］设X是一个线性空间，是凸集．函数，则f是ql型算子当且仅当f为拟线性函数．

注2．2［3］从命题2．4可知:f:X→R是ql型算子，但不一定是线性算子．

命题2．5［3］设X、Y、Z为3个线性空间，X．设f:D→Y，g:f(D)→Z为2个ql型算子，则g·f: D→Y是ql型算子．

下面将给出一些ql型算子的例子，这些例子能说明ql型算子是比线性算子更为广泛的算子．

例2．1［3］设算子 A:［－1，1］×［－1，1］→R3，

则A是连续的ql型算子．

易知，算子S为线性算子，Q为单调算子，则算子S、Q为ql型算子．通过ql型算子的定义，可证算子P也是ql型算子．任意取x，y∈［－1，1］，设z∈［x，y］，则存在λ∈［0，1］，使得z=λx+(1－λ)y，通过计算能得到

易验证P(z)∈［p(x)，p(y)］，因此算子P是ql型算子．根据命题2．5得，算子A为连续的ql型算子．由0)，故算子A不是仿射算子．

注2．3［3］特别地设算子A:［－1，0］×{0}→．从ql型算子定义易得，算子A为连续的ql型算子，易证算子A为单射且不是仿射算子．

例2．2［4］设 D:={f∈C［a，b］}|f(a)≥0⊂C［a，b］和算子S:D→RR，S(f)(x):=(f(a))2x，则有S是非线性的ql型算子．

定义2．3［3］设X是一个线性空间，Y是一个拓扑线性空间，映射．如果对任何收敛于0的序列和任意y∈D，使得x+tny∈D，则有当n→∞时，f(x+tny)→f(x)，那么f称为在点x处沿线结连续．如果f在D上的每一点都沿线结连续，则称f在D上线结连续．

引理2．1［4］设X是一个线性空间，Y是一个拓扑线性空间并且Y也是Hausdorff空间．设是凸集，f:D→Y为沿线结连续的ql型算子，则对于任意x，y∈D，都有f(［x，y］)=［f(x)，f(y)］．如果f也是一个单射算子，那么对于任意x，y∈D，x≠y，都有f((x，y))=(f(x)，f(y))．

注2．4 文献［3］的引理3．1是在Y是一个A1空间的条件下证明的，然而引理2．1是在Y是一个Hausdorff空间的条件下得出的结论．由于弱拓扑是一个Hausdorff空间，故上述引理比文献［3］的引理3．1更适用于弱拓扑空间．

定理2．1［4］设X和Y是2个线性空间并且Y也是Hausdorff空间，D⊆X是凸集，f:D→Y为沿线结连续的ql型算子，则f(D)是凸集．

定理2．2［4］设X和Y是2个线性空间，设D⊆X是凸集，f:D→Y是ql型算子，则对任意有限个元素x1，x2，…，xn∈D和任意x∈co{x1，x2，…，xn}，都有f(x)∈co{f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}．如果满足引理2．1的假设，则有

定理2．3［12］(开映射定理) 设X和Y是2个实Banach空间，f是从X到Y的连续线性算子并且是满射，则f将X中的任意开集映射为Y中的开集．此外，若f也是双射，则f－1是从Y到X的连续线性算子．

定理2．4 设X=Rn，Y=Rm，以及f:X→Y是连续的ql型算子且为双射，则f是开映射．

首先，证明下面的结论成立．

根据(4)式的结论，对任意h∈Y，‖h‖=1，存在th＞0，使得(4)式成立，则可以构造一个非空集值映射Q:H→2R++，其中H={h∈Y:‖h‖=1}，对任意h∈H，Q(h)={th＞0:存在th＞0，使得y0+thh．设映射g:H→R++是集值映射Q的一个单值选择，即对于任意h∈H，都满足g(h)∈ Q(h)．若能证明，则对任意 t∈(0，，任意h∈H，都有故存在 y0的领域 B(y0，t)，B(y0，t)={y∈X:‖y－y0‖＜t}，使得，因此y0属于f(U)的内部．

注2．5 当n=1，m=1，根据命题2．1和数学分析的知识容易证明定理2．4成立．当n=2或3，m=2或3时，利用引理2．1、定理2．2和(4)式，通过简单作图能够证明结论成立．特别地，当f:Rn→ =g(hn)→0+．由映射Q和g的定义知，y0+thnhn∈，使得f(xn)=y0+thnhn．因为‖xn－x0‖ =ε，通过三角不等式，则有‖xn‖≤‖x0‖+ε，所以序列{xn}是有界序列，则存在收敛子序列{xnj}．取xnj→b，易证b∈(Bε)，然而y0+ thnhn=f(xn)→y0，则有f(b)=y0=f(x0)．显然b≠x0，又因 f是单射，因此得到了一个矛盾，故Rn为连续线性映射且为双射时，定理2．4能退化为Rn维空间中的开映射定理．

3 广义集值变分不等式和强制性条件

定理3．1［4］设为非空弱紧凸子集，X为实Banach空间，以及f:K→X为(弱拓扑到弱拓扑)序列连续的ql型算子，设T:K→2X*为(弱拓扑到范数拓扑)上半连续且具有非空紧值的映射，则有．此外，如果对任意x∈K，T(x)也是凸值，则有

若K是弱紧集时，定理3．1获得了广义集值变分不等式问题GVI(T，f，K)的解的存在性结果．本文主要研究K不是弱紧集时，GVI(T，f，K)的解的存在性结果．设非空闭凸集，X为实Banach空间．设T:K→2X*为非空集值映射，映射f:K→X．考虑下列强制性条件:

设X和Y是2个实Banach空间，算子G:X→Y．如果{xn}是在X的弱拓扑中收敛于x的任意序列，则有G(xn)在Y的弱拓扑中收敛于G(x)，那么算子T被称为在x点(弱拓扑到弱拓扑)序列连续．显然，若算子G在x点(弱拓扑到范数拓扑)序列连续，则在点x处沿线结连续．算子F:X→2Y称为(弱拓扑到范数拓扑)上半连续，若对于任意点x0∈X，以及任意一包含F(x0)且为Y的范数拓扑中的开集N，都存在属于X的弱拓扑中的x0的领域M，使得

在本文中，S(T，f，K)表示广义集值变分不等式问题GVI(T，f，K)的解集．S(T，K)表示经典集值变分不等式VI(T，K)的解集．相应地，Sw(T，f，K)表示GVI(T，f，K)的弱解．如果x∈Sw(T，f，K)，则x∈K以及对任意y∈K，存在x*∈T(x)，使得〈x*，f(y)－f(x)〉≥0．对于r＞0，ρ＞0，Kr={x∈K:‖X‖≤

通过修改文献［13］的强制性条件(C')和(C1)，得到了本文中的强制性条件(A)和(B)，其主要是为了适合广义集值变分不等式问题GVI(T，f，K)．当f为恒等映射时，条件(A)=(C')和(B)=(C1)．显然(B)⇔(A)．当T是f－拟单调时，文献［14］使用强制性条件(C)建立了一些GVI(T，f，K)的存在性结果．若f是单射，条件(C)等价于存在ρ＞0:对任意x∈K且，都存在 y∈K，满足‖f(y)‖＜‖f(x)‖，使得－f(y)〉≥0．当f是恒等映射时，(A)=(C)．在下一节将证明在适当条件下这些强制性条件都能保证GVI(T，f，K)解的存在性．

4 广义集值变分不等式解的存在性

证明 因为条件(A)成立，n是条件(A)给出的n，对任意x∈K，取r＞max{n，‖x‖}，则有Kr为非空弱紧凸集．由定理3．1可知，任取xr∈Sw(T，f，Kr)，则有

1)若‖xr‖＜r，易证

事实上，任取y∈K{xr}．若f(y)=f(xr)，则有．若f(y)≠ f(xr)时，因为‖xr‖＜r，则存在t∈(0，1)，z∈K，使得z=ty+(1－t)xr∈Kr．由于f((x，y))=(f(x)，f(y))，则存在λ∈(0，1)，使得f(z)=(1－λ)f(y) +λf(xr)．因为z∈Kr，由(5)式可得

2)若‖xr‖=r，由条件(A)能得到

任取y∈K{y0}．若 f(y)=f(y0)，则有．若f(y)≠f(y0)时，因为‖y0‖＜r，则存在t∈(0，1)，z∈K，使得z=ty0+(1－t)y∈Kr．由于f((x，y))=(f(x)，f(y))，则存在λ∈(0，1)，使得f(z)=(1－λ)f(y)+λf(y0)．因为z∈Kr，那么由(5)式可得

由(7)式得到

(8)式+(9)式，则有

由于λ∈(0，1)，则

根据引理2．1知，若算子f为连续的单射ql型算子或为连续的线性算子时，则满足定理4．1中算子f的假设条件，故易得下面2个推论．

证明 由于(B)⇔(A)成立，则根据推论4．2，结论成立．

单值映射f:Z→Y称为集值映射F:Z→2Y的单值选择是指:对于任意z∈Z，都满足f(z)∈F(z)．下面的引理使广义集值变分不等式GVI(T，f，K)和经典的集值变分不等式VI(T，K)建立了联系．事实上，它是文献［3］的引理3．1的集值版本．

引理4．1［3］设X是实Banach空间，K是X的非空子集，T:K→2X*为集值映射，f:K→X为单值映射，映射g:f(K)→K是逆映射f－1的一个单值选择，则有u∈f(K)是VI(T°g，f(K))的解当且仅当g(u)∈K是GVI(T，f，K)的解．

引理 4．2［15］设X和Y是Hausdorff拓扑空间，如果T:X→2Y是从紧空间X到Y的具有非空紧值的上半连续映射，那么F(X)是紧的．

引理 4．3［15］设X和Y是Hausdorff拓扑空间，如果T:X→2Y是具有闭值的上半连续映射，那么F是闭的(即F的图是闭的)．

命题4．1［6］设为非空闭凸集，X为自反的实Banach空间，T:K→2X*为(弱拓扑到范数拓扑)具有非空紧凸值的上半连续映射，如果下列条件成立，

(C1)，y∈K，且‖y‖＜‖x‖，使得那么VI(T，K)解存在．

证明 由于f:X→X为连续算子，则f序列连续．由定理3．1得上述推论成立．

当K不是弱紧集时，下面的定理给出了一个保证GVI(T，f，K)解存在的强制条件．

证明 由于f:X→X为同胚映射，K是闭集，易得f(K)为非空闭集．根据拓扑的知识得，映射f在K上的限制映射f|K:K→f(K)也是同胚映射．设映射 g:f(K)→K，且满足:(f|K)－1(y)，则g是f|K的逆映射的一个连续的单值选择．容易得出，T·g:f(K)→2X*为(弱拓扑到范数拓扑)具有非空紧凸值的上半连续映射．因为f是连续的ql型算子，则由定理2．1知f(K)是凸集．

证明 由于f:X→X是连续线性算子且是双射，根据定理2．3知，f是开映射且f－1是连续线性映射．又因为f为连续线性算子，由文献［12］定理3．9知，f为(弱拓扑到弱拓扑)同胚映射．根据定理4．2知，

当X=Rn时，推论4．4中的线性算子能被ql型算子替换，同样能够保证结论的成立．

证明 根据定理2．4知，f一个开映射且为双射，则f－1是连续映射，因此f:X→X是同胚映射．根据定理4．2得

注4．1 对比强制性条件(A)和(C)，条件(A)比条件(C)更简洁，以及更少的假设条件．然而，我们必须注意条件(C)比条件(A)更容易和经典的集值变分不等式问题建立联系．

5 扰动的广义集值变分不等式

在这一节，研究了一个扰动的广义集值变分不等式GVI(T+εf，f，K):寻找x∈K和x*∈T(x)，使得

定理5．1 设K是Rn的一个非空闭凸子集，f: Rn→Rn为连续的ql型算子且为双射，T:K→2Rn为上半连续且具有非空紧凸值的集值映射．如果条件(C)成立，则对任意ε＞0有:

(ii)集合{S(T+εf，f，K):t∈(0，ε］}有界;

(iii)设F:R++→K，F(ε)=S(T+εf，f，K)，，那么对任意 x∈S(T+εf，f，K)，集合F－1(x)是凸集．

证明 (i)设ρ是条件(C)给出的ρ．假设能得到:对任意x∈K且，存在y∈K，满足‖f(y)‖ ＜‖f(x)‖，使得ε f(x)，f(x)－f(y)〉≥0．如果该假设成立，由于f是连续的ql型算子且为双射，则T+εf为上半连续且具有非空紧凸值的集值映射．由推论4．6可得GVI(T+εf，f，K)有解．现在证明该假设成立．由于存在y∈K，满足:对任意且‖f(y)‖＜‖f(x)‖，使得

则有

(ii)设t∈(0，ε］和xt∈S(T+tf，f，K)，则有．如果，由(i)知，存在yt∈K且满足‖f(yt)‖＜‖f(xt)‖，使得

由于xt∈S(T+tf，f，K)和yt∈K，则有

(iii) 设 ε1，ε2∈F－1(x)，将证明［ε1，ε2］∈F－1(x)．由于ε1，ε2∈F－1(x)，那么分别存在T(x)和，使得

从上面的2个不等式易得

故得到［ε1，ε2］∈F－1(x)，因此集合F－1(x)是凸集．

定理5．2 设K是Rn的一个非空闭凸子集，f:

Rn→Rn是连续的ql型算子且为双射，T:K→2Rn为上半连续且具有非空紧凸值的集值映射．如果条件(C)成立，则有

根据(17)式得，〈x*，f(y)－f(x)〉≥0，因此，x∈S(T，f，K)．

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Coercivity Conditions of Generalized Multivalued Variational Inequalities

LI Zejun，HE Yiran

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

In this paper，by using some coercivity conditions，we obtain some existence results of the solutions for generalized multivalued variational inequalities problems involving elements belonging to the operators of type ql，which was recently introduced by Szilard Laszló．By the way，we find an open mapping theorem of the operators of type ql．As an application，the perturbation analysis for the solution sets of a perturbed generalized multivalued variational inequality is established．

generalized multivalued variational inequalities;coercivity conditions;operators of type ql;perturbation

O151．25

A

1001－8395(2016)04－0467－08

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．001

(编辑 郑月蓉)

2015－04－25

国家自然科学基金(11271274)

*通信作者简介:何诣然(1973—)，男，教授，主要从事非线性规划领域的研究，E－mail:yiranhe@hotmail．com

2010 MSC:47J20;49J40