利用导数求解函数的零点问题

◇　北京　丁益祥(特级教师)

利用导数求解函数的零点问题

◇北京丁益祥(特级教师)

函数的零点是函数的重要概念之一,这类问题的处理,除了涉及函数零点的存在定理以外,一般还与函数的单调性、方程和不等式等知识有关.而上述内容又和导数有着紧密的联系,因此相关问题的求解,往往需要利用导数这一重要工具.

(1) 求a的值;

(2) 证明:当k<1时,曲线y=f与直线y=kx-2只有1个交点.

(2) 2曲线的交点问题,可以转化成函数的零点问题来解决.

由(1)知函数f(x)=x3-3x2+x+2.设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,则g′(x)=3x2-6x+1-k.因为k<1,故1-k>0.

又g(-1)=k-1<0, g(0)=4>0,故g(x)在区间(-1,0)上有零点.

又当x≤0时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增，所以函数g(x)在区间(-∞,0]上有唯一零点.当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),由h′(x)>0,得x>2;由h′(x)<0,得0

故h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2).

所以函数g(x)在(0,+∞)没有零点.

综上,函数g(x)在(-∞,+∞)上有唯一零点,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有1个交点.

(1) 讨论f(x)的导函数f′(x)的零点个数;

(2) 证明:当a>0时f(x)≥2a+aln(2/a).

至此,我们已经找到了区间的一个端点a,并且f′(a)>0.根据函数零点的存在定理,还需找到区间的另一个端点,并且希望在这个端点处f′(x)的值小于0，则在这个区间内f′(x)有零点.然而,这个端点不易找出，下面利用有限与无限思想来分析.

当x→0+时,f′(x)=2e2x-a/x→-∞.结合f′(a)>0,可以肯定在(0,a)内f′(x)必有零点.

设函数g(x)=2e2x与φ(x)=a/x,则这2个函数的图象在第1象限内有且只有1个交点,所以f′(x)在(0,+∞)内有唯一零点.

(2) 由(1)可设f′(x)在(0,+∞)唯一零点为x0.注意到(1)中已证得f′(x)在(0,+∞)单调递增,因此,当x∈(0,x0)时,f′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0,+∞)单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).

2a+aln(2/a).

故当a>0时,f(x)≥2a+aln(2/a).

(1) 设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;

(2) 若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2

由f(x)=ex-ax2-bx-1,得g(x)=f′(x)=ex-2ax-b，g′(x)=ex-2a.容易看出g′(x)在区间[0,1]上递增.

因此,当x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a].

所以函数g(x)在区间[0,ln(2a))上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增,于是g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.

综上,当a≤1/2时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b; 当1/2

(2) 充分关注函数f(x)在区间(0,1)内有零点的条件,并结合对函数f(x)在区间[0,1]的两端点处函数值以及g(x)=f′(x)在区间(0,1)内零点个数的分析,即可完成不等式的证明.

事实上,设x0为f(x)在区间(0,1)内的1个零点,则由f(0)=f(x0)=0可知f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减,则g(x)=f′(x)不可能恒为正,也不可能恒为负,即g(x)在(0,x0)内有正有负.故g(x)在区间(0,x0)内必存在零点,记作x1.

同理由f(x0)=f(1)=0可知g(x)在区间(x0,1)内必存在零点x2,所以g(x)在区间(0,1)内至少有2个零点.

因此x1∈[0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1],并且必有g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0.由f(1)=e-a-b-1=0,得-b=a-e+1,于是

g(0)=1-b=1+(a-e+1)=a-e+2>0,

g(1)=e-2a-b=e-2a+(a-e+1)=1-a>0.

解得e-2

函数的零点、方程的根以及函数的图象与x轴交点或2个函数图象的交点问题,本质上是同一类问题,归根结底是函数的图象与函数的性质问题.利用导数研究函数的零点,一方面可以通过研究函数的单调性,并结合函数零点的存在定理来解决,另一方面也可以把问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合思想来解决.

(作者单位：北京陈经纶中学)