例析反证法在立体几何中的应用

◇　江西　汤　燕

例析反证法在立体几何中的应用

◇江西汤燕

反证法是一种解题手段,在高中数学中出现的诸多定理与公式的证明,都是用反证法来实现的．反证法的存在,可以帮助学生解决一些正面难以解决的数学难题,有利于锻炼学生思维模式,扩宽了解题思路．下面举例分析反证法在高中立体几何中的应用．

1否定问题,正面求解

在某些题目中,若所需要证明的结论是一个否定命题,而直接证明比较困难,这就需要我们从它的反面即正面命题来求解．

图1

分析这是一道简单的证明题,如果直接从正面去考虑证明a与平面α内任意一条直线都不平行,将十分复杂．假如我们从问题的反面思考,不存在一条直线与a平行的反面是至少有一条直线与a平行,就会起到“柳暗花明”的效果．因此可以反面推导,最后根据题意得出矛盾．

证明假设原命题不成立,则在平面α存在一条直线b与a平行．又因为b⊂α而a⊄α,所以可以得出a∥α,这与已知a∩α=A矛盾,于是假设不正确,故原命题正确．

2唯一存在,反面逆推

对于一些唯一性、存在性的问题,如果用正常的方法解决,其证明过程可采用2步来解决:先证明存在性，再证明唯一性．这就是直接证明法,但某些“唯一性”问题用直接法不易求解，则可采用反证法,使问题变得简单．

分析本题只需要证明唯一性,我们就可以采用反证法来解决．假设过点P与α垂直的直线有2条,再去判断这一假设与其他条件相互矛盾，即可解决问题.

图2

证明如图2所示，过点P作PA⊥α,垂足为A．假设还有一条直线PB⊥α,即PA∩PB=P,可知由PA、PB可以确定一个平面β．设α∩β=a,则在β内PA⊥a、PB⊥a,所以PA∥PB．这与PA∩PB=P产生矛盾,所以假设不成立,命题得证．

3平行证明,相交起手

反证法的使用也可以出现在平行问题的证明上,如果证明2条直线平行,直接证明很困难,我们可以先假设它们不平行,之后再利用已知条件推出矛盾,这样就可以得出2条直线平行．

分析2个平面平行的反面是2个平面相交，故可先假设相交，再来判断其与条件矛盾即可．

图3

证明如图3所示，假设α与β不平行,α∩β=c.又因为a∥β,b∥α．由直线与平面平行的性质定理可知a∥c、b∥c,则a∥b．这与已知条件a和b是异面直线矛盾,故假设不成立,一定存在α∥β．

4相交证明,平行起手

立体几何中不仅存在大量证明平行的问题,也存在着很多证明相交的问题．在相交的问题中,也可以采用反证法来求证，原理与平行问题相同．

分析本题与上面求证平行的问题相似,也是属于证明面与面之间的关系,因此仍可以采用反证法.

图4

证明如图4，假设α与β不相交,则α与β重合或者是平行．

当α与β重合时,由PB⊥β可得PB⊥α.又因为PA⊥α,所以过点P有2条直线与α垂直,这与过一点有且只有一条直线与平面垂直相矛盾．

当α∥β时,同理也可以推出矛盾,故假设不成立,所以α与β必相交．

教师在教会学生利用反证法证明平行问题后,可让学生自行思考如何使用反证法证明相交问题．通过学生自己去思考达到触类旁通的目的．有利于提高学生自行解决问题的能力,也是对学生进行知识迁移训练的大好机会

5线面关系,反面立新

在线面关系证明中,用正面求解的方式往往会耗时耗力,而且难度极大，反证法求解不仅大大降低了解题的难度,而且步骤简单、思路清晰,解题的效率明显提高．

图5

分析此题的关键点是“不垂直”．这个“不”字也是在提醒我们使用反证法．假设直线AC与平面SOB垂直,然后导出矛盾,从而间接推出AC与平面SOB不垂直．

证明假设AC⊥平面SOB,因为直线SO在平面SOB内,所以AC⊥SO．又因为SO⊥底面圆O,所以SO⊥AB．即SO⊥平面SAB,所以平面SAB平行底面圆O,显然矛盾,因此假设不成立,即AC与平面SOB不垂直．

总之，反证法是高中数学中重要的解题、证明方法,教学中教师不仅要在学生的心中树立使用反证法的思维,更要注重培养、增强他们使用反证法的意识，明白使用反证法时需要注意的事项．只有教导学生灵活掌握了反证法,才能够从容地解决高考中出现的相应题目．

(作者单位：江西省宜春市第一中学)