一道有关速度合成题的导数法求解

◇　广东　李钰丰

一道有关速度合成题的导数法求解

◇广东李钰丰

在高中物理中,解答速度的问题一般采用矢量的合成与分解的方法来处理．其实对于一些难以处理的问题,还可以从速度的最基本的定义出发,并结合几何关系来求解．当时间改变Δt足够小时,可以根据导数的知识来寻求瞬时速度的数学表达式．利用数学方法来处理与速度相关的物理问题会使解题变得异常清晰,减少不必要的疑虑．下面以一道具体的例题来加以说明．

图1　　　　　　　　　图2

解法1矢量合成法.

物体A的运动(即绳的末端的运动)可看成2个分运动的合成:一是沿绳的方向被牵引,绳长缩短,绳长缩短的速度即等于v0;二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动v1,它不改变绳长,只改变角度θ的值．这样就可以将vA按图2所示的方式进行分解,得到物体A的速度vA=v0/cosθ.

这种解法虽然简单，但同学们对为什么存在v1以及为什么可以这样合成难以理解，导致在学习过程中只能死记结果，难以灵活运用.

图3

解法2导数法.

下面从速度的基本定义出发，利用导数的知识进行求解.

如图3所示,绳移动的位移

①

物体A水平移动的位移

②

因此绳移动的速度

③

物体移动的速度

④

⑤

⑥

由式⑤、⑥可得vA=v0/cosθ.

理解与分析本题很容易陷入一个误区，即认为物体的运动速度等于绳上某质点运动速度在水平方向的分量，因而得出vA=v0cosθ的错误结论.实际上，从几何上可以直观地看出v0与vA的大小关系.在图3中AD边上取点E，使得DE=DB，由于∠DEB<90°, 所以∠AEB为钝角，在△ABE中，AB>AE，所以可判断出vA>v0.从而判断出vA=v0cosθ的结论错误.这一点还可以用实验加以验证，只要测量出绳移动的距离和物体移动的距离，二者进行比较就一目了然了.

图4

要正确理解v1的来源和方向，可以采用二步法：第1步，假设绳子斜向上将物体拉动并使其离开了桌面，此时桌子对物体的支撑力为0；第2步，再来分析物体在空中的受力情况及其运动的趋势. 如图4所示，由于物体离开了桌面，此时物体受到2个力的作用，一是物体的重力mg，另外一个力是绳子的拉力F1.将重力mg分解为垂直于绳的方向的分量mgcosθ以及平行于绳的方向的分量mgsinθ，可以看出F1和mgsinθ的合力提供物体做圆周运动的向心力，而mgcosθ则提供一个斜向下的使物体运动的力，因而使物体产生一个垂直于绳的方向的斜向下的速度v1.

本文从位移变化的角度,结合高中所学到的导数知识找到了文中所提出的问题的正确答案．在此基础上分析了速度v1的成因．本文的分析方法对于求解速度合成与分解的类似问题有一定的参考价值．

(作者单位：广州市第二中学)