数列与差分专题教学的理解研究

陆正美

[摘 要] 在2003年颁布的《普通高中数学课程标准》中，将“数列与差分”专题列入了选修的内容当中，这不仅能够拓宽学生的视野，提高学生的数学素质，更是社会发展对我国数学教育提出的新要求. 本文根据笔者对数列与差分专题的理解，结合相关的理论基础，对“数列与差分”专题教学做了全面的分析，为一线高中数学教师开展“数列与差分”专题教学提供了参考.

[关键词] 数列与差分；专题教学；理解；研究

新一轮的课程改革对高中数学教学提出了“必修+选修”的教学模式，其中必修课程的教学为学生的共性发展打下了坚实的基础，选修课程的教学为学生的个性发展提供了可能. 在2003年教育部颁布的《普通高中数学课程标准》中就明确提出要将“数列与差分”的知识作为新增内容纳入选修专题教学中. 因此，我们要加强对选修课程的研究，改变以往单一的课程结构，充分发挥选修课程的重要作用，使必修课和选修课达到新的平衡，促进学生的全面发展.

数列与差分专题主要教学内容

本专题的教学内容及其排布形式主要是：首先由数列的概念引导出数列差分的概念，将数列差分的概念分成等差数列与其差分和等比数列与其差分. 其中等差数列与其差分部分包括一阶差分方程的概念、一阶齐次差分方程的通解、一阶非齐次差分方程的通解、一阶差分方程的应用.等比数列与其差分主要包括一阶线性差分方程组的概念及其解的结构、差分方程组的求解和差分方程组的应用.

数列与差分专题教学的必要性

1. 学科发展的需要

随着科学技术的发展，学科之间的界限逐渐被淡化，很多领域的研究都会涉及数量关系、几何图形等内容，它作为一门基础学科不仅被广泛应用于自然科学和工程技术中，也正在向社会学、人文科学等领域渗透. 法国勒维烈就利用相关数学数据推算出了一颗未知行星的位置.随着计算机技术的发展，数学知识被广泛应用于计算机领域，造就了“高科技的本质就是数学技术”的说法. 想要将人类社会生活中遇到的问题转化为计算机能够处理的数据，就必须要将已有的数据离散化，这就需要用到重要的数学工具——差分. 开设数列与差分专题教学能够提高学生的数学素养，拓展学生的知识面，从而满足学生的个性发展需求，进而满足数学学科发展的需求.

2. 现实生活的需求

不管是信息的离散化还是连续化，都与差分和差分方程紧密相连，掌握必要的差分知识，能够帮助我们解决生活中的一些问题. 在现实生活中我们可以掌握一些零散的数据信息，但是我们又需要了解这些事物的整体，这时我们就可以将这些离散的函数差值扩充为所需区域的连续函数，从而把握全局.例如，差分理论对于控制一个企业的资金流向具有重要的作用.

3. 学生自身发展的需求

现代社会是一个知识型社会，科学技术日新月异，信息更新速度日益加快，在这样的环境中人们不可能掌握所有的知识，更不能依靠一成不变的知识来适应社会的发展，而是需要掌握学习的方法. 高中数学通过精选相关知识进行教学，对于培养学生的生存技能和个性发展具有重要的作用. 具体表现为：能够教会学生必要的知识，为他们的生存和发展提供基础；能够培养学生的逻辑思维，提高他们的思维水平. 如今，我们通过数列与差分专题教学的开设，能够帮助学生利用差分知识来解决实际问题，从该专题中学习的相关知识能够在以后的工作中发挥巨大的作用.

数列与差分专题内容设置

1. 课程标准对数列与差分专题内容的要求

数列与差分的选修内容属于选修课程系列4中的第3个专题，通过该专题的设置让学生能够通过相关的实例了解差分与数列的变化关系和差分作为数列“变化率”的意义，能够初步学会建立差分方程. 具体体现在：（1）对于数列的差分，学生能够理解数列一级差分和二级差分对描述数列变化的意义；（2）通过具体的实例来体验数学法方程的作用；（3）学会分析并用差分方程来解决一些简单的实际问题，并能够利用连续变量离散化思想来解决简单的实际问题.

2. 数列与差分专题内容的教学思路

（1）利用问题引导学生参与教学活动

第一，可以采用“问题—理论—问题”的教学模式，循序渐进地讲解相关知识，让学生逐步构建差分的理论体系. 例如，差分是如何影响数列增、减、凹凸的？一阶差分方程与等差数列和等比数列支架的关系是什么？第二，在本专题的模型教学部分，可以多引入一些与生活密切相关的数学问题，让学生学会发现问题，分析问题，构建模型，解决问题.最终通过实践检验自己利用差分方程得出的结果是否正确. 第三，在本章节的学习中利用明确的问题，让学生在学习的过程中带着具体的问题，有目的性地进行学习，从而加深对差分等概念的理解，提高学生利用这些知识解决实际问题的能力.

（2）利用尝试活动作为专题教学的体验点

首先，要合理设计教学活动；数学课程标准对本专题的教学提出了明确的要求，要求在本专题的教学中不要过分强调系统性的知识，而是将差分的本质展现给大家.对于高中学生来说，他们从未接触过差分相关的知识，可以通过设计尝试活动让学生了解相关的知识. 但是问题难度的设置要符合学生的最近发展区.

其次，在专题的教学设计中注重数学思想的渗透，例如，通过类比函数之差与微分方程，让学生体会数列之差与差分方程的一一对应；通过对等差数列和等比数列的教学研究，引导学生接触常系数一阶线性差分方程通解的求法等.

最后，关注学生的学习体验，通过引入学生感兴趣的实例，激发学生的学习兴趣，增强学生对差分相关知识的感性理解. 通过合作探索让学生了解一阶差分方程通解、特解等方面的关系，培养学生良好的学习习惯. 通过引导学生利用差分模型解决实际问题，来提高学生应用数学的能力.

（3）充分利用归纳总结提升学生的学习整体水平

差分理论是大学里所要学习的内容，现在高中选修教材中出现，主要目的在于提升高中学生的学习能力. 差分部分内容较为抽象，设计的知识点较多，因此，归纳总结非常有必要. 例如，在学习了一阶差分方程通解、特解与相应齐次差分方程通解之间关系后，及时归纳总结线性差分方程通解、特解的关系，为以后学习微分方程和线性方程打下基础.

数列与差分专题教学方法选用

高中数学课程标准明确提出，对于数学教学方法要改变传统模式下被动学习方式，提倡通过合作探究的方式进行教学，培养学生的自主学习能力和创新意识.

1. 数学概念教学法

概念教学法是学生获取基本知识、基本技能的重要途径，正确把握好相关数学概念是学生学习数学的基础. 虽然在课程标准中提到对于“数列与差分”专题的教学不做系统性的要求，但是一些基本的概念知识还是需要学生去理解，例如，差分方程、通解、特解等概念，在讲解过程中，要区分主次，对于部分定义可以通过实例的形式来淡化讲解，对于有些定义不但不能淡化，还需要花大量的精力去讲解，例如差分的概念，需要学生正确并熟练地掌握这一概念.

利用概念教学法设计教学可以通过“问题情境—新概念—分析—应用—反馈”的环节来完成. 例如，以差分方程的教学为例，在创设情节环节，可以引入银行存款利率的例子来构建问题情境，通过引导学生分析问题并进行大胆猜测和思考. 接下来分析问题情境并列出等式，根据等式分析差分方程的属性，提出差分方程的概念. 接下来对提出差分概念进行多角度的剖析，进行正反论证加深学生的理解. 最后鼓励学生自己构建差分方程，并进行点评.另外，还可以通过“已有概念—新概念—比较—反馈”的模式来完成概念教学.

2. 数学命题教学法

数学命题教学法与数学概念教学法相互联系密不可分，在“数列与差分”专题教学中是不可或缺的教学方法. 在教学过程中将具有内在联系的知识集中到一块一起处理. 例如，在学习了一阶线性差分方程的通解等于其特解与相应齐次差分方程的通解之和以及一阶线性差分方程组的通解等于其特解与相应齐次差分方程组的通解之和后，将这两部分的知识内容放到一块进行比较、分析，从而概括出新的知识点——差分方程的通解等于其特解与相应齐次差分方程的通解之和. 这样不仅有助学生对学过知识的总结，还有利于学生创造性思维的培养.