高中数学发散性习题教学思路探析

吕从利

[摘 要] 习题教学是高中数学教学中的重点. 习题教学要遵循传统与现代教学的原则，发散性习题教学在培养学生解题能力、提高学生数学理解能力，以及提升学生的数学学习品质方面有不可替代的作用，在高中数学教学中必须坚持. 当然，其也需要与现代学习方式相结合.

[关键词] 高中数学；习题教学；发散性习题教学

高中数学教学中通过习题来强化学生对数学知识的理解，进而培养学生的数学思维，是一条基本且被证实有效的教学途径. 面对新的教学要求，面对新时期下学生数学素养提升的需要，习题教学如何在传统与创新之间寻求一种有效的结合，成为当下高中数学教师必须面对的重要课题. 笔者以为解决这一课题，需要建立基本的认知指向：一方面不能忽视传统，不能用空洞的所谓创新来否定传统习题教学中的有效做法，毕竟多年来高中数学教学中积淀下来的许多做法对于培养学生的数学思维是非常有效的；另一方面又不能囿于传统，传统的数学教育尤其是应试状态下的数学教学，确实存在着许多机械、重复、灌输的弊端，这是在习题教学研究中需要规避的. 笔者以为，传统数学教学中有一种方法值得传承，那就是发散性的教学思路，但同时其又要与现代教学理念与教学方式结合起来，这样才能在新的教学背景下发挥其新的魅力. 本文尝试对此做出阐述.

[?] 高中数学发散性教学思路简析

习题教学最直接的指向就是数学知识的运用，在这里需要阐述的一个观点是：当前的高中数学有研究新题的习惯，这是一件好事，因为新题往往能够用新的背景去较好地考查学生对数学知识的掌握情况. 但是需要强调的是，数学习题教学不能一味求新，尤其是在巩固学生的数学知识基础与数学知识初步应用的时候，一味地追求形式新颖，往往容易让学生忽视数学本义. 而笔者的这一观点在多个场合阐述的时候，也得到了不少一线教师的赞同. 实际上大家对当前的数学习题教学存在一个担心，那就是一味地追求形式新颖，很可能会让学生在数学知识理解的过程中，有意无意地忽视了对数学知识本质的理解.

如“最值问题”是高中数学中的一个重要类型，通过不同条件的提供，让学生基于数学规律（一般是通过公式来进行分析），确定一个最值. 经验证明，这种类型的数学题，由于思维过程的开放性，由于对数学工具选择的未知性，因而对学生的思维是非常具有挑战作用的，进而就能够很好地激活学生的数学思维. 但是近年来的一些最值问题常常通过一些看似华丽其实无效的信息包装，这样学生解题时的注意力会更多地集中在那些无效信息上，对于最值问题的求解思路反而倒忽视了，这也造成相当一部分学生在遇到最值问题的时候，把握不住重点.

基于这一现状，笔者以为类似于这些数学基础知识与基本解题能力的培养，一定要返璞归真，一定要通过“原味”的数学习题，并借助于发散性思路来真正提升学生的解题能力.

所谓发散性习题教学，就是给学生提供一个纯粹的数学试题，让学生运用所学的知识及其之前的解题经验，从解题思路、发散思路、试题变式、试题立意等多个方面展开思考，以对这一类习题构建一个立体的认识. 事实证明，发散性习题教学相对于一般的习题教学方式而言，其不仅能够提升学生的解题能力，还能促进学生对数学习题的理解，可以让学生站在一个更高的高度，可以让学生从多重角度去理解数学试题的价值. 笔者的实践经验还表明，发散性习题教学如果选择以一些经典、简洁的试题为“母题”，然后进行多重角度的发散，往往能够收到更佳的教学效果.

基于新的学习方式的发散教学

课程改革的背景下，高中数学教学追求教学方式的多样化，笔者所在的地区是教育强省，对于学生自主、合作、探究式的教学方式尤为重视，多年来在课程改革的春风吹拂下，一些课改理念已经成为课堂上的教学自觉. 即使在课程改革进入深水区的今天，虽然课改概念不再满天飞，但一些被证实为行之有效的教学方式，却真正成为课堂的常态. 在发散性习题教学的课堂上，这些新的教学方式也有所体现. 下面就选择一道经典的数学试题为母题，阐述笔者发散性的教学思路.

例：给你五根长度分别为2、3、4、5、6厘米的细棒，你能围出最大面积为多少平方厘米的三角形？（要求：细棒可以连接，但不可以折断.）

从题干描述来看，本题极为简洁，没有任何华丽修饰，但其在学生的思维中却可以迅速生成数学表象——学生会在思维中通过想象构建出三角形. 而面向三角形面积所提出的最值问题，就使得学生的数学思维会被迅速激活——他们会思考三角形面积求解过程中，有什么途径可以用来求最值.

也正是因为学生的这一直觉反应，所以发散性习题教学的第一个步骤是面向解题思路的. 笔者的课堂上，学生的解题思路基本上是这样的：

思路一：构建三角形. 显然在构建的过程中，如果一条边的边长确定好了，那在另外两边之和为定值的情况下，三角形的面积就有可能出现最值. 这也是教学过程中学生的第一思路. 事实证明，这种思路所用到的数学思维是一种“连续思维”，也就是说尽管题目提供的是5根不同长度的细棒——具有“间断性”，但在学生构建思维表象或者说在建构数学模型的时候，却在无意当中形成一种连续思维. 而也正是这种连续思维，使得有学生将此问题与椭圆问题联系了起来：毕竟椭圆的基本理解是到两定点连线为定值（大于两点距离）的点的集合. 如果视确定了一边的两个端点为定点，则剩下来的细棒长度之和就是一个定值，那么根据椭圆的模型，就可以发现当三角形为等腰三角形的时候面积是最大的. 于是问题的解决就转换成这5根细棒可以围成哪些等腰三角形，问题解决的思路也就清晰了. 应当说，这样的不同知识点之间的联系，尤其是借助于一个数学知识为另一个数学知识的解决建立模型，本身是本题培养学生思维的重要突破点.

思路二：事实上在上一思路形成的过程中，还有一个小组的学生在组内合作的过程中，提出了一个更为“笨拙”的方法，能不能一个三角形一个三角形去试，首先看能构成哪些三角形，然后看哪个三角形的面积最大. 在实际教学中有一个有意思的细节：当这个小组的学生代表提出这一思路之后，遭到了别的不少学生的反对，反对者认为这一思路太笨，不足以反映数学思维. 但笔者给予了这样的评价：这实际上是一种穷举思路，其实也是重要的数学思维方式，尽管其缺少规律性，但在数学探究的过程中很多思维的火花也就是在这种笨拙的思路中形成的. 因此，这个思路并不排斥，只是在运用的时候要注意效率罢了.

思路三：利用“极值定理”中的“和定积最大”. 事实上在第一个思路形成的过程中，有少数学生的切入点正是这个，既然给定了三角形的周长，而三角形的面积最终表现为一种乘积关系，那根据“和定积最大”的规则，就肯定存在一个最大面积. 但是这个思路中有一个挑战，那就是和定积最大的运用结果是三边相等时存在最大值，但根据给出的5个数据，是不可能构建出等边三角形的，那怎么办呢？当笔者向全班学生提出这一问题之后，没有急着讲思路，而是让学生去自主思考，然后合作探究. 最后有学生提出：做不到等边三角形，那就去找最像等边三角形的三角形，那个就应当是最大面积. 那哪个三角形最接近等边三角形呢？自然是三边之差最小的，于是最终探究出了三边分别为6、7（2+5）、7（3+4）的三角形的面积是最大的.

通过这样的自主合作探究的过程，学生基本上都是靠自己的思维在解决不断遇到的问题，由于解题思路的发散性，因此学生的知识综合能力、问题分析与解决能力，以及重要的数学建模能力等都得到了培养.

发散性习题教学数学思维本质

在发散性习题教学的过程中，笔者特别重视学生的数学思维. 研究发现，数学思维并不是一个空洞的概念，而应当结合学生对习题的分析来形成. 在发散性习题教学的过程中，笔者常常跟学生进行习题立意的研究，因为这样对于培养学生的数学思维而言有着明显的促进作用.

习题立意原本是命题者的事情，但对于解题者来说，如果能够站到这个高度，其解题视角与能力提升往往会有更好的效果. 譬如上题，从知识立意的角度来看，可以让学生显性地认识到用到了三角形知识、最值知识、极值定理、组合知识、椭圆知识等；从能力立意的角度来看，可以培养学生数学建模能力，以及将看似无关的知识有效联系的能力等. 而这些内容如果显性化，就会在学生后续的解题中发挥一种导引作用，也就是说学生对数学知识的把握不再是内隐的，而是显性的、可以言语的. 这样的试题立意的教学，某种程度上讲也是传统习题教学方式的发散，在提升学生解题能力的同时，还促进了学生基于数学知识进行交流、合作的能力，毕竟，学生言之有物了，而不是只会解题却无法表达.

综上所述，高中数学教学中，通过发散性的习题教学，可以从应用的角度对学生的能力提升有一个提纲挈领式的把握. 笔者以为，无论教学方式如何变革，这样的习题教学思路不能丢弃.