灵活建系　　妙用基底*

2016-05-10傅鲜兵金华市外国语学校高中部浙江金华321015

中学教研(数学) 2016年4期

关键词：建系向量

●傅鲜兵　(金华市外国语学校高中部　浙江金华　321015)

灵活建系妙用基底*

●傅鲜兵(金华市外国语学校高中部浙江金华321015)

摘要:向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着丰富的实际背景．在高中阶段，向量有着举足轻重的作用，并不断在高考中得以体现．“建系”与“用基底”是用向量解决几何问题的2个妙招．

关键词:向量;建系;用基底

笔者2015年又教高三，一文一理，做题甚多，却无特别大的成就感．近日，被一学生的问题点醒，灵感乍现，十分激动，提笔成文．

1　缘起

生:老师，不共线的2个向量e1，e2构成这一平面内所有向量的一组基底，不共面的3个向量e1，e2，e3可以表示所有的空间向量，是吗?

师:对的!

生:那么平面向量正交分解和空间向量正交分解只是向量分解中的一种特殊情况咯?

师:是的啊，这些老师上课也都说明了!

生(追问):那么平面直角坐标系和空间直角坐标系也只是坐标系中的一种特殊情况咯?

师:嗯，有想法，你的想法是正确的，值得肯定!

生:老师，您能举个例子，利用斜角坐标系解决几何问题吗?

师:嗯，老师去想想，再给你答复．你的想法很不错，很深刻!

学生对基底和坐标系的理解很深刻，作为这个学生的数学老师，笔者感到骄傲和自豪，自然竭尽所能去思考这个问题，进一步激发学生对数学的兴趣，促使学生更加深入的思考!

2　文科从平面向量入手，理科从空间向量入手

妙招1灵活建系(平面向量问题举例)

例1已知在△ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交边AB，AC于点M，N，设(其中xy≠0)，则4x+y的最小值为______．

(2015年浙江省宁波市效实中学高三期中数学文科试题)

考点平面向量的基本定理及其意义;向量在几何中的应用．

解法1(利用平面向量基本定理)

从而

在解法1完成后，不失时机地引导学生从已知的向量共线的结论去考虑．根据向量的加法及条件，结合点M，E，N共线，解出x，y的方程，然后利用“1”的代换，化简4x+y，利用基本不等式，求表达式的最小值即可．还可以得到如下解法:

解法2(妙用“1”代换)

以上2种解法，传统而自然．向量问题总是可以用坐标去解决．本着这个指导思想，我们可以用一种“惊艳”的方法将其解决!

解法3(灵活建系，解法惊艳)建立如图1所示斜角坐标系，令A(0，0)，B(b， 0)，C(0，a)，则，令直线MN:

图1

于是

从而

建系一般选2个相互垂直的坐标系，但有些情况下也可选择斜坐标系．建系是基底选择的应用，在中学阶段一般选相互垂直的坐标系．具体的目的就是使每个点的坐标好计算，也可以设计斜坐标系，只要达到目的就行了．

妙招2妙用基底(空间向量问题举例)

例2如图2，在三棱锥A-BCD中，AB=AC= BD=CD=3，AD=BC=2，若M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成角的余弦值为______．

(2015年浙江省数学高考理科试题第13题)

方法1(化异面为共面)将2条异面直线平移，化异面为共面．这是传统解法，也是浙江省考试院给出的参考答案．

图2

方法2(置身立方体，视野大不同)结合三棱锥的特点，每组对边均相等，可以构造长方体，使得长方体的长、宽、高分别为这样即可以建系，又可以化异面直线为共面直线，发现化异面为共面也变得易如反掌!

方法3(妙用基底，别有洞天)因为三棱锥的每条边长都已知，所以根据余弦定理可得

在用解析几何的方法解立体几何问题时，如果可以找到空间中3条线互相垂直，那么我们一般会以那3条线为坐标轴建立空间直角坐标系，求出图中各个点的坐标，用解析几何的方法去计算或是证明，其实这就利用了基底(3条坐标轴)．

在一些没有垂直关系的立体几何中，基底的运用会更明显．由于没有垂直，我们只能在空间中任取3条不共面的线作为基底，当然在取基底的时候会以“好算”为原则．有了基底以后，虽然不能像有坐标系那样知道每个点的坐标，但是可以通过基底的加减表示图形中的向量，一般我们选的基底的夹角是已知的，通过向量的运算同样可以求出图形中的距离、角度等，只不过不如建系方便．