浅谈初中数学利用建系法巧解几何题

曾钰玲

(福建省漳州实验中学 363000)

一、建系法

建系法作为函数的开端，也有一定的难度.不会建系，坐标写不清楚，中点坐标公式、两点距离公式不会应用等等的问题，都会使得一部分学生对建系法望而却步.然而仍然不能否认建系法对解题的帮助.

因此，本文挑选一些几何题，对比几何法解题和建系法解题，能更直观的理解几何法与建系法.从而加深对建系法的理解，学会使用建系法巧解几何题.

解题过程中可能会用到中点坐标公式、两点坐标公式，在此先作补充：

二、例题讲解

例1如图1，正方形ABCD与正方形CGEF的边长分别是2和3，且B，C，G三点在同一条直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF=____.

解法一几何法

对于学生来说，几何题用几何法解，是最直接的思路，而几何法通常需要作辅助线，这就是几何法的难点所在.

解延长AD，与FM的延长线交于点Q(如图2)

因为M是线段AE的中点，所以AM=EM

又因为四边形ABCD与CGEF都是正方形，

所以AD∥EF

所以∠AQM=∠EFM，∠MAQ=∠MEF

所以△FME≌△QMA(AAS)

所以MQ=MF

因为∠FDQ=90°，FD=FC-DC=1

DQ=AQ-AD=FE-AD=1

所以△FDQ是等腰直角三角形，腰长为1

解法二建系法

思路分析要求MF的长，则需要M点坐标和F点坐标，F点坐标易知，所以只需求M点坐标即可.而M点是AE中点，所以只需知道A、E点坐标即可，A、E点坐标易知.(如图3)

解以C为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.则A(-2，2)，E(3，3)

因为M是线段AE的中点，

因为F(0，3)

所以由两点距离公式得

从以上解题过程可以很直观看出用建系法解题相对于几何法来说，确实简单很多，书写上也更简洁.减少了学生最常出错的辅助线描述过程，减少了思考量.思路也更为直接.

建系法有时还会涉及到求函数解析式和交点坐标，也是学生非常容易出错的难点.

例2如图4，已知正方形ABCD的边长为5，E，F分别是边CD、AD的中点，BE、CF交于点P，求AP的长.

解法一几何法

解延长PF，与BA延长线交于点M(如图5)

因为ABCD是正方形，且E，F是中点

所以△BCE≌△CDF

所以∠PBC=∠FCD

因为∠PBC+∠BEC=180°-∠BCE=90°

所以∠FCD+∠BEC=90°

所以∠EPC=90°，所以∠FPB=90°

因为F是AD中点

所以△AFM≌△DFC

所以AM=DC

所以A是BM中点

所以PA为RT△BPM中斜边BM上的中线

解法二建系法

思路分析则要求AP的长，需要知道A点坐标和P点坐标，A点坐标易知，则只需求P点坐标即可.而P点是BE与CF的交点，则需要求出BE和CF所在直线的表达式即可.(如图6)

解以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.C(5，0)，B(0，0)

因为E、F是CD、AD中点，所以E(5，2.5)，F(2.5，5)

BE、CF交点坐标P为(4，2)

对比几何法与建系法会发现，几何法涉及到的知识点较多，并且不同的题目会涉及到不同的知识点，但建系法则比较单一，即使在不同的题目内，几个公式也可以反复用.

以上两个例子是在正方形的背景下，而建系法绝不仅仅能用于正方形，接下来将介绍建系法在其他题型的应用.(注：以下只展示建系解法，不再展示几何解法)

例3如图7，△ABE与△DBC都是等腰直角三角形，BC=2，AB=4，G、H分别是CD、AE中点，则GH=____.

思路分析要求GH的长，需要G、H两点坐标，G、H是CD、AE中点，A、E、C、D坐标易知，因此此题用建系法做非常简单.

解以B为原点，BE为x轴，AB为y轴，建立平面直角坐标系(如图8)A(0，4)，E(4，0)，C(-2，0)，D(0，2)

所以G(-1，1)，H(2，2)

从解题思路及计算过程均可看出，用建系法解几何题，难度下降.因此平时上课时，老师也可以有意识的引导学生用建系法解决较难的几何题.

总结数学本身是一门思维非常灵活的学科，如何在数学的学习过程中提高学生对数学概念的理解，促进发散性思维的提升，从而形成良好的认知结构，是作为一线数学教师需要不断学习的一种能力.

对于初中学生来说，函数是一个难点，但是如果函数学好了，也能成为一把利剑，帮助学生提高解题能力.本文只研究了平面直角坐标系对解决平面几何问题的帮助，而高中阶段，空间直角坐标系对于立体几何的帮助也是很大的.并且，建系法不仅在解几何题方面有帮助，在提高学生数形结合能力方面的帮助更大.作为一线教师，平常的解题过程可以多向学生灌输建系法，让学生在多次练习中熟悉，并且掌握建系法，最终实现能用建系法解题的目的.