在操作中感悟在应用中提升——《倍的认识》教学设计

孙惠惠

（本文作者系朱乐平数学名师工作站“一课研究”组成员）

【课前思考】

倍的概念建立分两个层次，第一层次是操作性意义的建构，以圈出1份和几份为基本过程沟通份数与倍数的关系，“以一个量为标准，另一个量有这样相同的几份就是它的几倍”。第二层次是数学性意义的建构，沟通几个几和倍数的关系，如“3个2就是2的3倍”。学生只有经历了这两个层次的概念建立过程，才有助于增进对于份数、几个几、倍数之间的联系与认识，建立起完整的倍的概念。

【教学过程】

一、呈现情境，以两数关系引出“倍”

师：（出示主题图）观察这幅图，你能提出哪些数学问题？

生:白兔比黑兔多几只？黑兔比白兔少几只？两种兔子一共有多少只……

师：同学们提出的问题都很有价值。其实，两个数量之间除了比多、比少这样的相差关系外，还有一种倍的关系。今天我们就来认识这个新朋友——倍（板书课题：倍的认识）。

【设计意图：“倍”的本质属性是两个量比较的结果，在学生已有的经验中两个量之间的关系不是求和就是求差，而在这节课里，将认识两个量的另一种关系，这种关系是全新的，因此呈现新概念与学生已有认知结构之间的联系和差异则是引入教学的有效契机。】

二、唤醒经验，基于份数感知倍数的操作意义

1.借助实物，初步感知2倍。

出示2只黑兔，4只白兔，引导学生边圈边说出：把2只黑兔看成1份（圈一个圈），白兔有这样的2份（圈两个圈），我们就说白兔的只数是黑兔的2倍。

2.抽象实物，直观认识2倍。

把3个红萝卜6棵青菜抽象成3个红圆和6个绿圆，引导学生边圈边说出绿圆和红圆的倍数关系。

3.变换图形，丰富2倍表征。

出示两行图形，第一行5个五角星，第二行10个长方形，引导学生边圈边说出两者的倍数关系。

4.对比实例，建立2倍模型。

师：这些图中的形状、个数都不一样，但为什么我们都说第二行的个数都是第一行的2倍呢？

引导学生发现，不管第一行摆几个,只要把它看成一份，第二行摆这样的两份,第二行的数量就是第一行的2倍。

【设计意图：“倍”是一个数概念，对于倍的定义有操作性定义和数学性定义两种，其中操作性定义能通过对“倍”形成过程的描述，将抽象的概念转换成可观察的操作过程；学生从圈实物图、圈圆点图到圈其他图形，利用画图表征，层层反复操作和感知，在活动中亲身经历了“倍”的形成过程，自主构造出“2倍”的概念模型。】

三、主体探究，沟通几个几建构倍的数学意义

1.动手操作，运用经验。

让学生摆一幅有倍数关系的图，具体的操作要求：

摆一摆

1.摆两行，能清楚看出其中一行是另一行的几倍。

2.摆完后同桌说一说：（）的数量是（）的（ ）倍。

2.成果展示，交流方法。

教师逐一出示收集的三幅学生作品（第一幅正向放，第二幅反向放，第三幅打乱放），请学生介绍。

生：我们组把3个小鸟看成1份，第二行有这样的3份，第二行是第一行的3倍。

生：我们组把2个海豚看成一份，第一行有这样的3份，第一行就是第二行的3倍。

生：第三幅也是3倍关系，我们可以把图形重新摆一摆，就能看出是4个太阳是一份，小花有这样的3份。

生：不用重新摆，圈一圈就行，先把4个太阳圈成1份，小花可以圈这样的4份，小花的个数就是太阳的4倍。

生：数一数也可以，太阳有4个，小花有12个，12是3的4倍。

师：同学们的方法都很好，接下来请你仔细观察，这些都是3倍关系的图，谁能用一句话来说一说，怎么摆就一定是3倍关系。

生：只要先摆一份，再摆同样多的三份，它们之间就是三倍关系。

【设计意图：“倍”的概念建立过程中，把谁看成“1份数”是概念形成的重要环节，通过倍数创作素材的多元化和正向、反向、无序排放作品的解读，让学生能清晰体会到1倍标准的确立与它所在的行数、位置、所表示的图形无关，只与和它比较的另一个数量的关系有关。这样教学，学生能在辨析与思考中牢牢建立起“把哪一类物体的数量几当做1份数，另一类物体中有多少个同样多的几个，就是几的多少倍”的表象。】

3.分析比较，沟通联结。

师：刚才我们通过摆一摆、圈一圈已经发现了它们的倍数关系，接下来，我们从数量上来观察一下。如果一份是2，以2个为标准去数一数，1个2,2个2,3个2。3个2就是2的3倍。（板书3个2）

师：（指板书中的图）如果一份是3，以3个为标准、以4个为标准去数一数呢？

根据学生回答板书3个3，3的3倍；3个4，4的3倍。

【设计意图：基于前面大量份数关系与“倍”的沟通后，学生关于倍的概念结构已经初步形成，在本环节中，适当沟通“几份”与“几个几”后，学生就能快速在“几个几”和“倍”中建立联结。】

四、层层跟进，应用“倍”的概念

1.变化标准量，体验倍数结果的相对性。

师：看图，你能快速说出圆的数量是三角形的几倍吗？

引导学生发现，倍是两个数量之间的关系，缺少三角形就不能比。

师：想一想，三角形可能是几个?把你们的猜想画在练习纸上。

学生完成后，分别得出圆可能是三角形的6倍、3倍、2倍、1倍。

教师引导学生发现，同样都是6个圆，但和它比较的三角形的数量在发生变化，圆的数量是三角形的几倍也会发生变化。

2.辨析倍数关系，突出以谁为1倍标准。

（1）出示问题。判断：这样做对吗？

引导学生发现要找准把谁看成一份数，不能说反了。

（2）讨论如何修改,如三角形的数量是圆的2倍，圆的数量是三角形的一半。

3.三个量两两比较，熟练倍数的表述应用。

师：如果我们在刚才的图中再增加一行，你能从这幅图中找出（）的数量是（）的（）倍吗？

同桌说一说，看哪一桌找到的倍数关系多。

学生分别找出三角形的数量是圆的2倍，三角形的数量是长方形的6倍，圆的数量是长方形的3倍。