一个具有相互作用非线性项的分数阶微分方程组的爆破解

李　萍，　舒　级,　张　佳，　廖　欧

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)



一个具有相互作用非线性项的分数阶微分方程组的爆破解

李萍，舒级*,张佳，廖欧

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

摘要：讨论一类具有相互作用非线性项的分数阶微分方程组的爆破解.首先给出分数阶导数的形式，并得到分数阶微分方程组局部解的存在性，其次由Hölder不等式估计方程组的解，得到其在有限时间内的爆破解，并给出其解爆破时间上界的估计.

关键词：分数阶微分方程； 爆破解； 上界； Hölder不等式

分数阶微分方程指的是含有分数阶导数或者分数阶积分的方程.目前,分数阶导数和分数阶积分在物理、生物、化学等多个学科有着广泛的应用，如具有混沌动力行为的动力系统、拟混沌动力系统、复杂物质或者多孔介质的动力学、具有记忆的随机游走等[1].本文考虑下面非线性时间α阶微分方程组

初始条件：u(0)=u0,v(0)=v0,其中,p>1、q>1、u0>0、v0>0均是常数，Dα、Dβ是Caputo分数阶导算子，0<α<1,0<β<1,A(t)、B(t)是连续函数.

研究上述具有相互作用非线性项的分数阶微分方程组的爆破解.随着科学技术的发展，非线性方程的研究内容日趋丰富，尤其是在流体力学、非线性光学、经典场论、量子力学等领域已有大量研究[2-4].近几年来，分数阶偏微分方程在材料力学、生物学、等离子体物理学、金融学、化学等更多领域中被提出，并蓬勃地开展着研究，其中包括分数阶非线性Schrödinger方程、分数阶Navier-Stokes方程以及分数阶Ginzburg-Landau方程等[5-18].这些研究都有明确的物理背景，开辟了一个崭新的研究领域.早在17世纪末，一些数学家如L’Hpital、Leibniz、Euler等就开始思考如何定义分数阶导数.19世纪70年代，Riemann、Liouville将Cauchy积分公式推广，得到函数的分数阶导数的定义[1].本文将通过Hölder不等式得到方程组(1)在有限时间内的爆破解.首先给出分数阶微积分的一些基本定义,然后再给出方程组(1)的局部解存在性，最后得出主要结果并加以证明.

1预备知识

下面首先给出分数阶微积分的基本定义，参见文献[1,5].

定义 1.1设f在Jo=(0,∞)上分段连续，并且在J=(0,∞)的任意有限子区间上可积，对任意的t>0以及使得Reα>0的任意的复变量α,函数f的α阶R-L分数阶积分定义为

(2)

其中规定D0f(x)=f(x).

α阶的Riemann-Liouville分数阶积分算子性质:若α,β≤0,则有

(3)

定义 1.2Riemann-Liouville分数阶导算子Dα定义如下

(4)

其中,m-1<α0.

(5)

其中m-1<α≤m,m∈N,x>0.

接下来给出方程组(1)的局部解存在性，证明方法参见文献[5].

假设存在常数M>0，使得|A(t)|≤M,|B(t)|≤M,0≤t≤T,并且满足Lipschitz条件：

考虑积分方程组

定理 1.1[5]设x(t),y(t)，t∈[0,T]是积分方程组(6)的连续解，令

(7)

那么(u,v)就是满足初始条件u(0)=u0,v(0)=v0的方程组(1)的解.

2方程组的爆破解

在本节将给出方程组(1)在有限时间内的爆破解和爆破时间的一个上界.

定理 2.1如果u0>0,v0>0,p>1,q>1,A(t)>0,B(t)>0是连续函数，并且满足Lipschitz条件：

则方程组(1)的解在有限时间内爆破，并给出了其解爆破时间上界的一个估计.

证明(反证法)假设(u,v)是方程组(1)的全局解.设

(8)

满足

(9)

(10)

其中

因为Riemann-Liouville分数阶导算子在[0,T]上积分满足公式(参见文献[1])

(11)

则在方程组(1)两侧同时乘以φ(t),再在区间[0,T]上对t积分有

(12)

可以得到

(13)

同理

(14)

因为A(t)>0,B(t)>0是连续函数，则存在常数L>0使得A(t)≤L,B(t)≤L,t∈[0,T],由Hölder不等式可得

(15)

同理可得

令

(17)

于是得到

(18)

同理可得

(19)

(20)

代入(18)式中得

(21)

其中

(22)

代入(20)式可得

(23)

(24)

所以

(25)

其中

当T→∞时，在(25)式中可得到v0≤0,这与已知v0>0矛盾，故假设不成立，方程组(1)存在有限时间的爆破解.

下面对爆破时间进行估计，将(21)式代入(25)式中有

(26)

其中

(27)

同理对u0进行估计

(28)

(29)

由于

(30)

所以

(31)

当T→∞时，在(31)式中可得到u0≤0,这与已知u0>0矛盾，故假设不成立,方程组(8)有有限时间的爆破解.

下面对爆破时间进行估计，将(18)和(20)式代入(31)式中有

u0≤

(32)

其中

因此，得到爆破解的时间上界为

参考文献

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2010 MSC：35B44; 35R11; 34A08; 34K37

(编辑陶志宁)

Blowing-up Solutions for a Nonlinear System of Fractional Differential Equations with Interaction Nonlinearity

LI Ping,SHU Ji,ZHANG Jia,LIAO Ou

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

Abstract：In this paper, we discuss the blow-up solutions of a nonlinear system of fractional differential equations. Firstly we give the form of fractional derivatives and get the local existence of solutions to the system of the integral equations. Secondly we obtain the blow-up solutions to the fractional differential equations in a finite time by using Hölder’s inequality， and the upper bound of blowing-up time．

Key words：fractional differential equation; blowing-up solution; upper bound; Hölder inequality

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.003

中图分类号：O177.92

文献标志码：A

文章编号：1001-8395(2016)01-0015-05

*通信作者简介：舒级(1977—),男,副教授,主要从事随机动力系统、偏微分方程的研究,E-mail:shuji2008@hotmail.com

基金项目：国家自然科学基金(11371267)和四川省教育厅重点科研基金(14ZA0031)

收稿日期:2014-07-01