严格对角占优M矩阵A的‖A—1‖∞上界的新估计式

杨晓英

摘 要 针对严格对角占优M矩阵A，利用矩阵元素，估计其逆矩阵元素的取值范围，进而给出‖A-1‖∞新的上界估计式，由此得到A的最小特征值下界的估计式.理论证明和算例分析表明新的上界估计式改进了一些已有结果.

关键词 对角占优矩阵；M矩阵；无穷大范数；上界

中图分类号 O151.21文献标识码 A文章编号 10002537（2014）03009105

M矩阵是一类有着广泛应用背景的重要矩阵.生物学、物理学、经济学和社会科学中的许多问题都和M矩阵有着密切的联系.在数值分析和求解初值问题的常微分线性方程组等问题中，经常需要判断实矩阵A∈Rn×n的A-1在无穷大范数下的界，但是当A-1很难精确求出时，‖A-1‖∞通常是很难计算的.所以，当A是严格对角占优的M矩阵时，关于‖A-1‖∞的上界估计成为许多学者关注和研究的热点，已获得了一系列估计式[17]，本文将继续这一问题的研究，给出‖A-1‖∞上界的新估计式.

设N表示自然数；Rm×n（Cm×n）表示m×n阶实（复）矩阵的集合；ρ（P）表示n×n阶非负矩阵P的Perron根.将所有非对角元素都为非正实数的n阶方阵的集合记为Zn.设矩阵A=（aij）∈Rn×n，若aij≥0，i，j∈N，则称矩阵A为非负矩阵，记A≥0.

设矩阵A=（aij）∈Zn，则A可以表示为A=λI-B，其中B≥0，当λ≥ρ（B）时，称A为M矩阵.特别地，当λ>ρ（B）时，称A为非奇异M矩阵；当λ=ρ（B）时，称A为奇异M矩阵.并记Mn表示n阶M矩阵的集合.

设A∈Mn，记τ（A）=min{λ：λ∈σ（A）}，其中σ（A）表示矩阵A的谱.τ（A）称为矩阵A的最小特征值.同时，有τ（A）=1ρ（A-1）[810].

摘 要 针对严格对角占优M矩阵A，利用矩阵元素，估计其逆矩阵元素的取值范围，进而给出‖A-1‖∞新的上界估计式，由此得到A的最小特征值下界的估计式.理论证明和算例分析表明新的上界估计式改进了一些已有结果.

关键词 对角占优矩阵；M矩阵；无穷大范数；上界

中图分类号 O151.21文献标识码 A文章编号 10002537（2014）03009105

M矩阵是一类有着广泛应用背景的重要矩阵.生物学、物理学、经济学和社会科学中的许多问题都和M矩阵有着密切的联系.在数值分析和求解初值问题的常微分线性方程组等问题中，经常需要判断实矩阵A∈Rn×n的A-1在无穷大范数下的界，但是当A-1很难精确求出时，‖A-1‖∞通常是很难计算的.所以，当A是严格对角占优的M矩阵时，关于‖A-1‖∞的上界估计成为许多学者关注和研究的热点，已获得了一系列估计式[17]，本文将继续这一问题的研究，给出‖A-1‖∞上界的新估计式.

设N表示自然数；Rm×n（Cm×n）表示m×n阶实（复）矩阵的集合；ρ（P）表示n×n阶非负矩阵P的Perron根.将所有非对角元素都为非正实数的n阶方阵的集合记为Zn.设矩阵A=（aij）∈Rn×n，若aij≥0，i，j∈N，则称矩阵A为非负矩阵，记A≥0.

设矩阵A=（aij）∈Zn，则A可以表示为A=λI-B，其中B≥0，当λ≥ρ（B）时，称A为M矩阵.特别地，当λ>ρ（B）时，称A为非奇异M矩阵；当λ=ρ（B）时，称A为奇异M矩阵.并记Mn表示n阶M矩阵的集合.

设A∈Mn，记τ（A）=min{λ：λ∈σ（A）}，其中σ（A）表示矩阵A的谱.τ（A）称为矩阵A的最小特征值.同时，有τ（A）=1ρ（A-1）[810].

摘 要 针对严格对角占优M矩阵A，利用矩阵元素，估计其逆矩阵元素的取值范围，进而给出‖A-1‖∞新的上界估计式，由此得到A的最小特征值下界的估计式.理论证明和算例分析表明新的上界估计式改进了一些已有结果.

关键词 对角占优矩阵；M矩阵；无穷大范数；上界

中图分类号 O151.21文献标识码 A文章编号 10002537（2014）03009105

M矩阵是一类有着广泛应用背景的重要矩阵.生物学、物理学、经济学和社会科学中的许多问题都和M矩阵有着密切的联系.在数值分析和求解初值问题的常微分线性方程组等问题中，经常需要判断实矩阵A∈Rn×n的A-1在无穷大范数下的界，但是当A-1很难精确求出时，‖A-1‖∞通常是很难计算的.所以，当A是严格对角占优的M矩阵时，关于‖A-1‖∞的上界估计成为许多学者关注和研究的热点，已获得了一系列估计式[17]，本文将继续这一问题的研究，给出‖A-1‖∞上界的新估计式.

设N表示自然数；Rm×n（Cm×n）表示m×n阶实（复）矩阵的集合；ρ（P）表示n×n阶非负矩阵P的Perron根.将所有非对角元素都为非正实数的n阶方阵的集合记为Zn.设矩阵A=（aij）∈Rn×n，若aij≥0，i，j∈N，则称矩阵A为非负矩阵，记A≥0.

设矩阵A=（aij）∈Zn，则A可以表示为A=λI-B，其中B≥0，当λ≥ρ（B）时，称A为M矩阵.特别地，当λ>ρ（B）时，称A为非奇异M矩阵；当λ=ρ（B）时，称A为奇异M矩阵.并记Mn表示n阶M矩阵的集合.

设A∈Mn，记τ（A）=min{λ：λ∈σ（A）}，其中σ（A）表示矩阵A的谱.τ（A）称为矩阵A的最小特征值.同时，有τ（A）=1ρ（A-1）[810].